Seja F=nabla f, onde f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Desenhe F(x, y, z), com x^2+y^2+z^2=1, x> 0, y>0, z>0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial F=nabla f com
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
no trecho da esfera de raio 1 situado no primeiro octante, isto é, em
x^2+y^2+z^2=1, x>0,;y>0,;z>0
O conteúdo aqui é cálculo de gradiente e interpretação geométrica de um campo radial na superfície esférica.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Lembrando que
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr),
temos
nabla f(x,y,z) = (2x,,2y,,2z)

Passo 3

Na superfície dada por x^2+y^2+z^2=1, cada vetor F(x,y,z)=(2x,2y,2z) é paralelo ao vetor posição (x,y,z). A magnitude é
|F| = raiz(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2 =2raizx^2+y^2+z^2=2cdot1=2

Passo 4

Isso significa que, em qualquer ponto da esfera de raio 1 no primeiro octante, o vetor F aponta radialmente para fora da esfera e tem comprimento constante igual a 2.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x, y e z com a origem no canto e marque o primeiro octante.
  2. Desenhe um quarto de esfera de raio 1 nesse primeiro octante.
  3. Em alguns pontos representativos da superfície, desenhe setas de mesmo tamanho (comprimento 2), todas saindo perpendiculares à superfície esférica, isto é, na direção do vetor posição (x,y,z).

Resposta

O esboço apresenta um quarto de esfera de raio 1 no primeiro octante, com vetores de mesma extensão 2 em cada ponto, todos apontando radialmente para fora da superfície.

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