Efetue a antidiferenciação.
47.
integral (r^1 / 3+2)^4 d rraiz[2]r^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral l(r^1/3+2r)^4raizr^2,dr
que é um problema de antidiferenciação usando substituição. Vamos supor r>0 para que raizr^2=r.

Passo 2

Com raizr^2=r, a integral vira
integral l(r^1/3+2r)^4r,dr =integral l(r^1/3+2r)^4;r^-1,dr

Passo 3

Fazemos a substituição
u = r^1/3+2 Longrightarrow r^1/3=u-2 Longrightarrow r=(u-2)^3
Derivando,
dr = 3(u-2)^2,du
No numerador fica u^4 e no denominador r=(u-2)^3, logo a integral passa a ser
integral u^4(u-2)^3;3(u-2)^2,du = integral 3,u^4u-2,du

Passo 4

Para integrar 3,u^4/(u-2), dividimos polinomialmente:
u^4u-2 = u^3+2u^2+6u+12 + 24u-2
Multiplicando por 3,
3,u^4u-2 =3u^3+6u^2+18u+36 + 72u-2

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral l(3u^3+6u^2+18u+36r),du = tfrac34u^4+2u^3+9u^2+36u,
integral 72u-2,du =72lnl|u-2r|
Somando e incluindo a constante C, obtemos
tfrac34u^4+2u^3+9u^2+36u+72lnl|u-2r|+C

Passo 6

Voltando a r, lembrando u-2=r^1/3, temos ln|u-2|=lnl|r^1/3r|=tfrac13ln|r|. Assim a primitiva final é
34l(r^1/3+2r)^4 +2l(r^1/3+2r)^3 +9l(r^1/3+2r)^2 +36l(r^1/3+2r) +24lnlvert rrvert + C

Resposta

boxed 34l(r^1/3+2r)^4 +2l(r^1/3+2r)^3 +9l(r^1/3+2r)^2 +36l(r^1/3+2r) +24lnlvert rrvert + C

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