Efetue, através da integral definida, o cálculo da área delimitada por:
x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)=-x^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x) = -x^2 + 1. Como nessa região o gráfico de f está sempre sobre y=0 para x\in[0,1], podemos calcular a área via a integral definida
\text{Área} = \int_{0}^{1} \bigl(f(x)-0\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(-x^2 + 1\bigr)\,dx.Á

Passo 2

Encontrar uma primitiva de -x^2 + 1. Sabemos que
\int \bigl(-x^2 + 1\bigr)\,dx = -\int x^2\,dx + \int 1\,dx = -\frac{x^3}{3} + x + C.

Passo 3

Avaliar a primitiva entre os limites x=0 e x=1:
\left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{1} = \Bigl(-\tfrac{1^3}{3} + 1\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{0^3}{3} + 0\Bigr) = -\tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{2}{3}

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