Efetue, através da integral definida, o cálculo da área delimitada por:
x=0, x=1, y=1 e pelo gráfico de f(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas x=0, x=1, pela linha horizontal y=1 e pelo gráfico da função f(x)=e^x. O método é usar integral definida para calcular a “área entre curvas”.

Passo 2

Em [0,1], temos e^x\ge1, ou seja, a curva y=e^x está sempre acima da reta y=1. Logo, a área procurada é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior, ao longo de x de 0 a 1.

Passo 3

Montamos a integral
\text{Área} \;=\;\int_{0}^{1}\bigl(e^x - 1\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
\int\bigl(e^x - 1\bigr)\,dx = e^x - x + C.
Aplicando os limites de 0 a 1,
\left[e^x - x\right]_{0}^{1} = \bigl(e^1 - 1\bigr) - \bigl(e^0 - 0\bigr) = (e - 1) - 1 = e - 2.

Resposta

e - 2

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