Questão 3: Reescreva a integral iterada
\int_{0}^{1}\left(\int_{\sqrt{z}}^{1}\left(\int_{0}^{1-y} d x\right) d y\right) d z
em três gutras ordens diferentes.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\Bigl(\int_{\sqrt{z}}^{1}\bigl(\int_{0}^{1-y}dx\bigr)dy\Bigr)dz
e pede para reescrevê-la em três outras ordens de integração. O conteúdo envolve caracterizar a região
D=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le1,\;\sqrt{z}\le y\le1,\;0\le x\le1-y\}
e, a partir daí, determinar intervalos adequados para cada permutação de x,y,z.

Passo 2

Para descrever D de forma mais simétrica, note que \sqrt{z}\le y equivale a 0\le z\le y^2, e \sqrt{z}\le y\le1 implica 0\le y\le1. Logo
D=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le1-y,\;0\le z\le y^2\}.

Passo 3

Integrando em ordem z, depois x, depois y, temos
\int_{y=0}^{1}\Bigl(\int_{x=0}^{\,1-y}\bigl(\int_{z=0}^{\,y^2}dz\bigr)dx\Bigr)dy.

Passo 4

Integrando em ordem z, depois y, depois x, observe que para cada x\in[0,1] a condição x\le1-y 0\le y\le1-x, e então 0\le z\le y^2. Assim
\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{\,1-x}\bigl(\int_{z=0}^{\,y^2}dz\bigr)dy\Bigr)dx.

Passo 5

Integrando em ordem y, depois z, depois x, notamos que para cada x\in[0,1] deve valer z\le y^2 e y\le1-x, ou seja 0\le z\le(1-x)^2 e \sqrt{z}\le y\le1-x. Logo
\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{z=0}^{\,(1-x)^2}\bigl(\int_{y=\sqrt{z}}^{\,1-x}dy\bigr)dz\Bigr)dx.

Resposta

As três ordens alternativas são:
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\,1-y}\int_{z=0}^{\,y^2}dz\,dx\,dy,
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{\,1-x}\int_{z=0}^{\,y^2}dz\,dy\,dx,
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{\,(1-x)^2}\int_{y=\sqrt{z}}^{\,1-x}dy\,dz\,dx.

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