(1,0 ponto) Verifique a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos aplicar o teste da razão, que é indicado quando temos fator exponencial no denominador.

Passo 2

Defina a_n = \frac{n^2}{2^n}. O teste da razão exige calcular
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{\,n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{2^n}{2^{\,n+1}} = \frac12 \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^2 = \frac12.
Como L=\tfrac12<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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