Efetue a divisão de f(x) = x^{2}+a x+b por g(x) = 2 x^{2}+2 x-6. Qual a condição para que a divisão seja exata?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos f(x)=x^2+ax+b e g(x)=2x^2+2x-6. O objetivo é dividir f por g e encontrar a condição para que esta divisão seja exata (isto é, resto zero). O conteúdo envolvido é o algoritmo da divisão de polinômios e a condição de resto nulo.

Passo 2

Como \deg f=\deg g=2, o quociente será uma constante q. Para encontrá-la, igualamos os coeficientes dos termos de grau 2:
q = \frac{1}{2}\,.

Passo 3

O resto R(x) vem de
R(x)=f(x)-q\,g(x) =\bigl(x^2+ax+b\bigr)-\tfrac12\bigl(2x^2+2x-6\bigr) =(x^2+ax+b)-(x^2+x-3)
\phantom{R(x)}=(a-1)\,x+(b+3)\,.

Passo 4

Para que a divisão seja exata, precisamos de
R(x)\equiv0\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} a-1=0,\\\ b+3=0. \end{cases}
Logo a=1 e b=-3.

Resposta

A divisão é exata se, e somente se, a=1 e b=-3.

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