Questão 2 (2,0 pts) Seja
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\operatorname{sen} z \mathbf{k} um campo vetorial em
\mathbb{R}^{3} . (a) Mostre que
\mathbf{F} um campo vetorial conservativo. (b) Então, determine uma função
f tal que
\mathbf{F}=\nabla f .
Solução:
(a) Para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F} é conservativo, calculamos seu rotacional.
O campo dado é:
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\sin z \mathbf{k}
O rotacional de
\mathbf{F} é dado por:
\begin{aligned} \operatorname{rot} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}= & \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ \operatorname{sen} y & x \cos y & -\operatorname{sen} z \end{array}\right| \\\ = & \left(\frac{\partial}{\partial y}(-\operatorname{sen} z)-\frac{\partial}{\partial z}(x \cos y)\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial}{\partial z}(\sin y)-\frac{\partial}{\partial x}(-\operatorname{sen} z)\right) \mathbf{j}+ \\\ & +\left(\frac{\partial}{\partial x}(x \cos y)-\frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen} y)\right) \mathbf{k} \\\ = & 0 \mathbf{i}+0 \mathbf{j}+(\cos y-\cos y) \mathbf{k} \\\ = & \mathbf{0} \end{aligned}
Portanto rot
\mathbf{F}=\mathbf{0}
Como
\mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, podemos concluir que
\mathbf{F} é conservativo.
(b) Como
\mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial
f(x, y, z) tal que
\mathbf{F}=\nabla f . Assim, temos:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen} y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=-\operatorname{sen} z
Integrando a primeira equação em relação a
x :
f(x, y, z)=\int \operatorname{sen} y d x=x \operatorname{sen} y+g(y, z)
onde
g(y, z) é uma função que pode depender de y e
z . Derivando em relação a y e igualando com
\frac{\partial f}{\partial y} :
\frac{\partial}{\partial y}(x \operatorname{sen} y+g(y, z))=x \cos y+\frac{\partial g}{\partial y}=x \cos y
Portanto,
\frac{\partial g}{\partial y}=0 \Rightarrow g(y, z)=h(z)
onde
h(z) é uma função que depende apenas de
z . Derivando em relação a z e igualando com
\frac{\partial f}{\partial z} :
\frac{\partial}{\partial z}(x \operatorname{sen} y+h(z))=h^{\prime}(z)
Como
\frac{\partial f}{\partial z}=-\operatorname{sen} z , temos:
h^{\prime}(z)=-\operatorname{sen} z
Integrando:
h(z)=\int-\operatorname{sen} z d z=\cos z+C, \quad C \in \mathbb{R}
Portanto, a função potencial é:
f(x, y, z)=x \operatorname{sen} y+\cos z+C, C \in \mathbb{R} .