Questão 2 (2,0 pts) Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\operatorname{sen} z \mathbf{k} um campo vetorial em \mathbb{R}^{3}. (a) Mostre que \mathbf{F} um campo vetorial conservativo. (b) Então, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Solução:
(a) Para verificar se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo, calculamos seu rotacional. O campo dado é:
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\sin z \mathbf{k}
O rotacional de \mathbf{F} é dado por:
\begin{aligned} \operatorname{rot} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}= & \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ \operatorname{sen} y & x \cos y & -\operatorname{sen} z \end{array}\right| \\\ = & \left(\frac{\partial}{\partial y}(-\operatorname{sen} z)-\frac{\partial}{\partial z}(x \cos y)\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial}{\partial z}(\sin y)-\frac{\partial}{\partial x}(-\operatorname{sen} z)\right) \mathbf{j}+ \\\ & +\left(\frac{\partial}{\partial x}(x \cos y)-\frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen} y)\right) \mathbf{k} \\\ = & 0 \mathbf{i}+0 \mathbf{j}+(\cos y-\cos y) \mathbf{k} \\\ = & \mathbf{0} \end{aligned}
Portanto rot \mathbf{F}=\mathbf{0}
Como \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, podemos concluir que \mathbf{F} é conservativo.
(b) Como \mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial f(x, y, z) tal que \mathbf{F}=\nabla f. Assim, temos:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen} y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=-\operatorname{sen} z
Integrando a primeira equação em relação a x :
f(x, y, z)=\int \operatorname{sen} y d x=x \operatorname{sen} y+g(y, z)
onde g(y, z) é uma função que pode depender de y e z. Derivando em relação a y e igualando com \frac{\partial f}{\partial y} :
\frac{\partial}{\partial y}(x \operatorname{sen} y+g(y, z))=x \cos y+\frac{\partial g}{\partial y}=x \cos y
Portanto,
\frac{\partial g}{\partial y}=0 \Rightarrow g(y, z)=h(z)
onde h(z) é uma função que depende apenas de z. Derivando em relação a z e igualando com \frac{\partial f}{\partial z} :
\frac{\partial}{\partial z}(x \operatorname{sen} y+h(z))=h^{\prime}(z)
Como \frac{\partial f}{\partial z}=-\operatorname{sen} z, temos:
h^{\prime}(z)=-\operatorname{sen} z
Integrando:
h(z)=\int-\operatorname{sen} z d z=\cos z+C, \quad C \in \mathbb{R}
Portanto, a função potencial é: f(x, y, z)=x \operatorname{sen} y+\cos z+C, C \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\sin y\,\mathbf{i}+x\cos y\,\mathbf{j}-\sin z\,\mathbf{k}
é conservativo em \mathbb{R}^3, e (b) encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Para (a) vamos usar que em domínio simplesmente conexo um campo é conservativo se e só se seu rotacional é zero. Para (b) integramos sucessivamente as componentes de \mathbf{F}=\bigl(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z\bigr).

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F} via determinante:
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ \sin y & x\cos y & -\sin z \end{vmatrix}.
Explicando cada componente:
  • Componente \mathbf{i}:
    \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(-\sin z)-\frac{\partial}{\partial z}(x\cos y) =0-0=0. - Componente \mathbf{j}:
    \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\sin y)-\frac{\partial}{\partial x}(-\sin z) =0-0=0. - Componente \mathbf{k}:
    \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(x\cos y)-\frac{\partial}{\partial y}(\sin y) =\cos y-\cos y=0.

Passo 3

Como todas as componentes do rotacional são zero,
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}.
E \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, logo \mathbf{F} é um campo conservativo.

Passo 4

Agora procuramos f(x,y,z) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=\sin y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=-\sin z.
Integramos a primeira equação em x:
f(x,y,z)=\int\sin y\,dx =x\sin y + g(y,z),
onde g é “constante” em relação a x.

Passo 5

Derivamos a expressão acima em y e igualamos a \partial f/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sin y+g(y,z)\bigr) =x\cos y + \frac{\partial g}{\partial y} \overset!=x\cos y.
Isso implica \partial g/\partial y=0, logo g depende só de z: g(y,z)=h(z).

Passo 6

Por fim, derivamos em z e comparamos a \partial f/\partial z:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\sin y + h(z)\bigr) =h'(z) \overset!=-\sin z.
Integramos em z:
h(z)=\int -\sin z\,dz = \cos z + C,\quad C\in\mathbb{R}.

Resposta

A função potencial é
f(x,y,z)=x\sin y + \cos z + C,\quad C\in\mathbb{R},
de modo que \nabla f=\mathbf{F}.

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