Questão 2 (2,0 pts) Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\operatorname{sen} z \mathbf{k} um campo vetorial em \mathbb{R}^{3}. (a) Mostre que \mathbf{F} um campo vetorial conservativo. (b) Então, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Solução:
(a) Para verificar se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo, calculamos seu rotacional. O campo dado é:
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+x \cos y \mathbf{j}-\sin z \mathbf{k}
Portanto rot \mathbf{F}=\mathbf{0}
Como \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, podemos concluir que \mathbf{F} é conservativo.
(b) Como \mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial f(x, y, z) tal que \mathbf{F}=\nabla f. Assim, temos:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen} y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x \cos y, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=-\operatorname{sen} z
Integrando a primeira equação em relação a x :
f(x, y, z)=\int \operatorname{sen} y d x=x \operatorname{sen} y+g(y, z)
onde g(y, z) é uma função que pode depender de y e z. Derivando em relação a y e igualando com \frac{\partial f}{\partial y} :
é conservativo em \mathbb{R}^3, e (b) encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Para (a) vamos usar que em domínio simplesmente conexo um campo é conservativo se e só se seu rotacional é zero. Para (b) integramos sucessivamente as componentes de \mathbf{F}=\bigl(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z\bigr).
Passo 2
Calculamos o rotacional de \mathbf{F} via determinante:
\operatorname{rot}\mathbf{F} =\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ \sin y & x\cos y & -\sin z \end{vmatrix}.