x^{\prime}=y
y^{\prime}=-2 x-2 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x' = y,\\\ y' = -2x - 2y. \end{cases}
Trata-se de um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes. Para resolver, vamos eliminar y e obter uma equação de segunda ordem só em x.

Passo 2

Derivando a primeira equação, obtemos
x'' = y'.
Mas pela segunda equação y' = -2x - 2y. Como y = x', substituímos e chegamos a
x'' = -2x - 2x' \quad\Longrightarrow\quad x'' + 2x' + 2x = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 2 = 0,
cuja solução é
r = -1 \pm i.

Passo 4

Logo a solução geral da EDO em x é
x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 5

Como y = x', calculamos
y(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl[e^{-t}(A\cos t + B\sin t)\Bigr] = e^{-t}\bigl(-A\cos t - B\sin t - A\sin t + B\cos t\bigr) = e^{-t}\bigl[(B - A)\cos t - (A + B)\sin t\bigr].

Resposta

\begin{cases} x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),\\\ y(t) = e^{-t}\bigl[(B - A)\cos t - (A + B)\sin t\bigr], \end{cases} \quad A,B\in\mathbb{R}.

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