Efetue:
\frac{\left(\frac{3 x^{2} y}{a^{3} b^{3}}\right)^{2}}{\left(\frac{3 x y^{2}}{2 a^{2} b^{2}}\right)^{3}}=

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\frac{\left(\frac{3 x^{2} y}{a^{3} b^{3}}\right)^{2}}{\left(\frac{3 x y^{2}}{2 a^{2} b^{2}}\right)^{3}}.
Informações dadas (listas das partes que aparecem no enunciado):
\text{numerador: }\left(\frac{3 x^{2} y}{a^{3} b^{3}}\right)^{2}, \qquad \text{denominador: }\left(\frac{3 x y^{2}}{2 a^{2} b^{2}}\right)^{3}.

Passo 2

Relembre as regras de potência que vamos usar (explicadas com calma):
  • Para qualquer fração \frac{P}{Q} e inteiro n, vale
\left(\frac{P}{Q}\right)^{n}=\frac{P^{n}}{Q^{n}}.
Isso significa que elevamos numerador e denominador separadamente.
  • Para produto de fatores, (AB)^{n}=A^{n}B^{n}.
  • Para potência de potência, (A^{m})^{n}=A^{mn}.
  • Para dividir potências com mesma base, A^{p}/A^{q}=A^{p-q}.
  • Expoente negativo: A^{-k}=\dfrac{1}{A^{k}}.
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular nada — relaxa que a gente vai destrinchar tudo.

Passo 3

Elevar o numerador ao quadrado: apliquei \left(\frac{P}{Q}\right)^{2}=\frac{P^{2}}{Q^{2}} e (AB)^{2}=A^{2}B^{2}.
\left(\frac{3 x^{2} y}{a^{3} b^{3}}\right)^{2} = \frac{3^{2}\,(x^{2})^{2}\,y^{2}}{(a^{3})^{2}\,(b^{3})^{2}}
Agora uso (x^{2})^{2}=x^{4} e (a^{3})^{2}=a^{6}, etc., para obter:
\left(\frac{3 x^{2} y}{a^{3} b^{3}}\right)^{2} = \frac{9\,x^{4}\,y^{2}}{a^{6}\,b^{6}}.

Passo 4

Elevar o denominador ao cubo: novamente \left(\frac{P}{Q}\right)^{3}=\frac{P^{3}}{Q^{3}} e (AB)^{3}=A^{3}B^{3}.
\left(\frac{3 x y^{2}}{2 a^{2} b^{2}}\right)^{3} = \frac{3^{3}\,(x)^{3}\,(y^{2})^{3}}{2^{3}\,(a^{2})^{3}\,(b^{2})^{3}}.
Calcule as potências: 3^{3}=27, 2^{3}=8, (y^{2})^{3}=y^{6}, (a^{2})^{3}=a^{6}, (b^{2})^{3}=b^{6}. Assim:
\left(\frac{3 x y^{2}}{2 a^{2} b^{2}}\right)^{3} = \frac{27\,x^{3}\,y^{6}}{8\,a^{6}\,b^{6}}.

Passo 5

Agora escrevo a divisão das duas frações e uso que dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
\frac{\dfrac{9\,x^{4}\,y^{2}}{a^{6}\,b^{6}}}{\dfrac{27\,x^{3}\,y^{6}}{8\,a^{6}\,b^{6}}} = \frac{9\,x^{4}\,y^{2}}{a^{6}\,b^{6}}\cdot\frac{8\,a^{6}\,b^{6}}{27\,x^{3}\,y^{6}}.

Passo 6

Cancelei os fatores idênticos a^{6}\,b^{6} no numerador e denominador (eles aparecem tanto em cima quanto em baixo), então restou:
\frac{9\,x^{4}\,y^{2}}{1}\cdot\frac{8}{27\,x^{3}\,y^{6}} = \frac{9\cdot 8}{27}\cdot\frac{x^{4}}{x^{3}}\cdot\frac{y^{2}}{y^{6}}.
Agora aplico as regras de potências:
\frac{x^{4}}{x^{3}}=x^{4-3}=x^{1}=x, \qquad \frac{y^{2}}{y^{6}}=y^{2-6}=y^{-4}.
Para o coeficiente numérico:
\frac{9\cdot 8}{27}=8\cdot\frac{9}{27}=8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}.
Então a expressão fica
\frac{8}{3}\,x\,y^{-4}.

Passo 7

Transformo o expoente negativo em fração com expoente positivo usando y^{-4}=\dfrac{1}{y^{4}}:
\frac{8}{3}\,x\,y^{-4}=\frac{8x}{3y^{4}}.
Pronto — chegamos à forma mais simples com expoentes positivos.

Resposta

\displaystyle \frac{8x}{3y^{4}}

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