Efetue:
\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}. As informações dadas são apenas os radicais \sqrt{30} e \sqrt{6}. O objetivo é simplificar essa fração e apresentar o resultado de forma mais simples possível.

Passo 2

Vou recordar uma propriedade básica e muito útil de radicais que serve aqui. Para a\ge 0 e b>0 vale
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.
Explicando por que isso é verdade de forma simples: escrevendo raízes como potências, \sqrt{a}=a^{1/2} e \sqrt{b}=b^{1/2}. Então
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = a^{1/2} b^{-1/2} = (a b^{-1})^{1/2} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{a}{b}}.
Outra forma de ver (sem potências) é usar \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} e manipular para chegar à mesma igualdade. Ambas as justificativas mostram que é seguro juntar as raízes quando os argumentos são não-negativos.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso com a=30 e b=6:
\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{30}{6}}.

Passo 4

Calcular a divisão dentro da raiz:
\frac{30}{6} = 5,
portanto
\sqrt{\frac{30}{6}} = \sqrt{5}.

Passo 5

(Um jeito alternativo, que às vezes é mais intuitivo na prova.) Factorizar 30=6\cdot5 e usar \sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b:
\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6\cdot5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}\,\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{5},
onde a \sqrt{6} do numerador e do denominador se cancelam (desde que \sqrt{6}\neq0, o que é verdade). Valor aproximado para checar: \sqrt{5}\approx 2,236. Isso serve só como verificação.

Resposta

\sqrt{5}

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