Exercício 30. Simplifique a fração, \operatorname{com} n \in \mathbb{N} :
\frac{2^{n} \cdot 2^{n+1} \cdot 2^{n+2}}{2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração, sabendo que n\in\mathbb{N}. A expressão dada é
\frac{2^{n}\cdot 2^{\,n+1}\cdot 2^{\,n+2}}{2^{\,n+1}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A base em todas as potências é 2.
  • Os expoentes no numerador são n, n+1 e n+2.
  • No denominador o expoente é n+1.
  • n\in\mathbb{N} indica que n é um número natural (um inteiro não negativo, por convenção).

Passo 2

Relembrando as leis de potências que vamos usar (explicação passo a passo e concreta):
  • Produto de potências de mesma base: para quaisquer números reais a (com a\neq0) e expoentes p,q,
a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Isto significa que, ao multiplicar potências com a mesma base, somamos os expoentes.
  • Quociente de potências de mesma base: para a\neq0,
\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}.
Isto significa que, ao dividir potências com a mesma base, subtraímos os expoentes (expoente do numerador menos expoente do denominador).
  • Potência de potência: para a\neq0 e expoentes r,s,
a^{r s}=(a^{r})^{s}.
Usaremos essa última para reescrever a expressão em formas alternativas (útil para deixar o resultado mais simples).

Passo 3

Aplicar a lei do produto ao numerador, somando os expoentes das três potências de base 2:
n+(n+1)+(n+2)=n+n+1+n+2=3n+3.
Portanto o numerador vira uma única potência:
2^{n}\cdot 2^{\,n+1}\cdot 2^{\,n+2}=2^{\,3n+3}.

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado na fração, obtemos
\frac{2^{\,3n+3}}{2^{\,n+1}}.
Agora aplicamos a regra do quociente de potências (subtrair expoentes).

Passo 5

Subtrair os expoentes:
(3n+3)-(n+1)=3n+3-n-1=2n+2.
Logo a expressão fica
2^{\,2n+2}.

Passo 6

Podemos escrever 2^{\,2n+2} de forma mais compacta usando fator comum no expoente:
2^{\,2n+2}=2^{\,2(n+1)}.
Agora aplicando a regra da potência de potência:
2^{\,2(n+1)}=(2^{2})^{\,n+1}=4^{\,n+1}.
Assim obtemos uma forma bem simples e elegante para a fração.

Passo 7

Checagem numérica rápida para ganhar confiança (exemplos concretos):
  • Se n=0: expressão original é \dfrac{2^{0}\cdot2^{1}\cdot2^{2}}{2^{1}}=\dfrac{1\cdot2\cdot4}{2}=\dfrac{8}{2}=4. A forma final dá 4^{0+1}=4^{1}=4. Confere.
  • Se n=1: original \dfrac{2^{1}\cdot2^{2}\cdot2^{3}}{2^{2}}=\dfrac{2\cdot4\cdot8}{4}=\dfrac{64}{4}=16. Final 4^{1+1}=4^{2}=16. Confere.

Resposta

4^{\,n+1}

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