Exercício 30. Simplifique a fração,
:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração, sabendo que
. A expressão dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A base em todas as potências é
. - Os expoentes no numerador são
, e . - No denominador o expoente é
. -
indica que é um número natural (um inteiro não negativo, por convenção).
Passo 2
Relembrando as leis de potências que vamos usar (explicação passo a passo e concreta):
- Produto de potências de mesma base: para quaisquer números reais
(com ) e expoentes ,
Isto significa que, ao multiplicar potências com a mesma base, somamos os expoentes.
- Quociente de potências de mesma base: para
,
Isto significa que, ao dividir potências com a mesma base, subtraímos os expoentes (expoente do numerador menos expoente do denominador).
- Potência de potência: para
e expoentes ,
Usaremos essa última para reescrever a expressão em formas alternativas (útil para deixar o resultado mais simples).
Passo 3
Aplicar a lei do produto ao numerador, somando os expoentes das três potências de base
:
Portanto o numerador vira uma única potência:
Passo 4
Substituindo o numerador simplificado na fração, obtemos
Agora aplicamos a regra do quociente de potências (subtrair expoentes).
Passo 5
Subtrair os expoentes:
Logo a expressão fica
Passo 6
Podemos escrever
de forma mais compacta usando fator comum no expoente:
Agora aplicando a regra da potência de potência:
Assim obtemos uma forma bem simples e elegante para a fração.
Passo 7
Checagem numérica rápida para ganhar confiança (exemplos concretos):
- Se
: expressão original é . A forma final dá . Confere. - Se
: original . Final . Confere.