Exercício 29. Sendo a e b números reais e diferentes de zero, determine o valor de:
\frac{\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}}{\left(a^{2} b^{3}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor da expressão
\frac{\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}}{\left(a^{2} b^{3}\right)^{2}}
e dá as informações relevantes:
  • a e b são números reais diferentes de zero.
  • Quer-se simplificar a fração envolvendo potências de a e b e apresentar o resultado em forma simplificada.

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades de potências que vamos usar — explicadas de forma bem prática:
  • Regra do produto elevado a potência: para quaisquer números não nulos x e y e inteiro n,
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
Isto significa que a potência se distribui sobre o produto.
  • Regra da potência de potência: para qualquer x e inteiros m,n,
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n}.
Ou seja, multiplica-se os expoentes.
  • Regra da divisão de potências com mesma base: para x\neq0 e inteiros m,n,
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
  • Convenção do expoente zero: para x\neq0,
x^{0}=1.
Exemplo rápido para fixar: (2\cdot 3)^{2}=6^{2}=36 e também 2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36, mostrando (xy)^{2}=x^{2}y^{2}. Outro exemplo: \left(2^{3}\right)^{2}=2^{6}=64.

Passo 3

Aplicar a regra (xy)^{n}=x^{n}y^{n} e a regra da potência de potência ao numerador \left(a^{3}b^{2}\right)^{3}. Primeiro distribui-se a potência ao produto e depois multiplica-se os expoentes:
\left(a^{3}b^{2}\right)^{3} = \left(a^{3}\right)^{3}\left(b^{2}\right)^{3} = a^{3\cdot 3} b^{2\cdot 3} = a^{9} b^{6}.

Passo 4

Fazer o mesmo com o denominador \left(a^{2}b^{3}\right)^{2}:
\left(a^{2}b^{3}\right)^{2} = \left(a^{2}\right)^{2}\left(b^{3}\right)^{2} = a^{2\cdot 2} b^{3\cdot 2} = a^{4} b^{6}.

Passo 5

Substituir numerador e denominador simplificados na fração e usar a regra da divisão de potências com mesma base:
\frac{\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}}{\left(a^{2} b^{3}\right)^{2}} = \frac{a^{9} b^{6}}{a^{4} b^{6}}.
Agora separar as bases iguais:
\frac{a^{9} b^{6}}{a^{4} b^{6}} = \frac{a^{9}}{a^{4}} \cdot \frac{b^{6}}{b^{6}}.
Aplicando \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n} obtemos
\frac{a^{9}}{a^{4}} = a^{9-4} = a^{5}, \qquad \frac{b^{6}}{b^{6}} = b^{6-6} = b^{0}.
Como foi dado que b\neq0, vale b^{0}=1. Portanto a expressão simplifica para
a^{5}\cdot 1 = a^{5}.

Resposta

a^{5}

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