Exercício 29. Sendo
e
números reais e diferentes de zero, determine o valor de:
Passo 1
O enunciado pede que se determine o valor da expressão
e dá as informações relevantes:
-
e são números reais diferentes de zero. - Quer-se simplificar a fração envolvendo potências de
e e apresentar o resultado em forma simplificada.
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades de potências que vamos usar — explicadas de forma bem prática:
- Regra do produto elevado a potência: para quaisquer números não nulos
e e inteiro ,
Isto significa que a potência se distribui sobre o produto.
- Regra da potência de potência: para qualquer
e inteiros ,
Ou seja, multiplica-se os expoentes.
- Regra da divisão de potências com mesma base: para
e inteiros ,
- Convenção do expoente zero: para
,
Exemplo rápido para fixar:
e também
, mostrando
. Outro exemplo:
.
Passo 3
Aplicar a regra
e a regra da potência de potência ao numerador
. Primeiro distribui-se a potência ao produto e depois multiplica-se os expoentes:
Passo 4
Fazer o mesmo com o denominador
:
Passo 5
Substituir numerador e denominador simplificados na fração e usar a regra da divisão de potências com mesma base:
Agora separar as bases iguais:
Aplicando
obtemos
Como foi dado que
, vale
. Portanto a expressão simplifica para