Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(22 x^{10}-\sqrt{3} x^{2}+\pi\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\left(22 x^{10}-\sqrt{3} x^{2}+\pi\right)dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A integranda é a soma de três termos: 22 x^{10}, -\sqrt{3}\,x^{2} e \pi.
  • Há constantes multiplicando potências de x ( 22 e \sqrt{3}) e uma constante pura ( \pi).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função e lembrar de incluir a constante de integração C.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (ferramenta fundamental aqui):
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx,
e, para qualquer constante a,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Isso significa que podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral. Vou usar isso para tratar cada parcela separadamente.

Passo 3

Regra da potência (a principal fórmula que vamos aplicar):
\text{Se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui x é a variável de integração e n é um número real (expoente). Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} porque aplicamos a fórmula com n=2.

Passo 4

Integramos o primeiro termo usando a linearidade e a regra da potência:
\int 22 x^{10}\,dx = 22\int x^{10}\,dx = 22\cdot\frac{x^{11}}{11} = 2x^{11}.
Aqui simplificamos 22/11=2.

Passo 5

Integramos o segundo termo (observe que \sqrt{3} é constante):
\int \big(-\sqrt{3}\,x^{2}\big)\,dx = -\sqrt{3}\int x^{2}\,dx = -\sqrt{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\,x^{3}.

Passo 6

Integramos o terceiro termo: a integral de uma constante é a constante vezes x:
\int \pi\,dx = \pi x.

Passo 7

Somando as primitivas parciais obtidas para cada termo (e lembrando que devemos acrescentar uma constante de integração), obtemos a primitiva da função dada.

Resposta

2x^{11}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x^{3}+\pi x+C

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