Sabendo que a=\left(-2+\frac{4}{5}\right)^{-2}, determine o valor de a.

Passo 1

Temos dado a=\left(-2+\frac{4}{5}\right)^{-2}. O que o enunciado pede é: determinar o valor de a. Informações relevantes que temos: o termo dentro dos parênteses é uma soma envolvendo um inteiro negativo e uma fração, e o expoente é -2 (um expoente negativo e par).

Passo 2

Primeiro simplificamos a soma dentro dos parênteses. Para somar -2 com \frac{4}{5} é prático escrever -2 como fração com denominador 5. Assim,
-2 = -\frac{10}{5},
e portanto
-2+\frac{4}{5} = -\frac{10}{5}+\frac{4}{5} = -\frac{6}{5}.

Passo 3

Agora recorde (ou aprenda) a regra do expoente negativo: para qualquer número não nulo x,
x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.
Isto significa que um expoente negativo indica o recíproco (inverso) do número elevado ao expoente positivo. Além disso, elevar ao quadrado ( ^{2}) significa multiplicar o número por ele mesmo.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso, substituímos o que encontramos em Passo 2:
a=\left(-\frac{6}{5}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}}.
Calculemos o quadrado da fração. A propriedade de potência de fração diz que
\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
Assim,
\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{(-6)^{2}}{5^{2}}=\frac{36}{25}.
Logo chegamos à expressão
a=\frac{1}{\frac{36}{25}}.

Passo 5

Para simplificar \displaystyle \frac{1}{\frac{36}{25}} usamos a definição de recíproco: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso (ou seja, inverter numerador e denominador). Portanto, invertendo \frac{36}{25} obtemos a forma final simplificada de a.

Passo 6

Resumo do procedimento para aplicar na prova: (1) reduza a soma dentro dos parênteses usando denominador comum; (2) transforme o expoente negativo em recíproco; (3) calcule o quadrado da fração usando \left(\frac{p}{q}\right)^2=\frac{p^2}{q^2}; (4) finalmente inverta a fração resultante para obter o valor final. Você já tem o passo-a-passo que funciona para qualquer caso parecido — fica mais fácil com prática, vai dar certo!

Resposta

\frac{25}{36}

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