Efetue as operações e escreva as respostas na forma algébrica:
Simplifique: \frac{(1+i)^{2}}{1-i}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração
\frac{(1+i)^{2}}{1-i}
usando operações com números complexos. Vamos precisar expandir o quadrado no numerador e depois racionalizar o denominador, multiplicando por seu conjugado.

Passo 2

Calcular o quadrado de (1+i):
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i.

Passo 3

Substituindo no quociente, fica
\frac{(1+i)^{2}}{1-i} = \frac{2i}{1-i}.
Para eliminar o número imaginário do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-i, que é 1+i:
\frac{2i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}.

Passo 4

Calcular o produto no numerador e no denominador:
Numerador:
2i\,(1+i) = 2i + 2i^{2} = 2i - 2 = -2 + 2i.
Denominador:
(1-i)(1+i) = 1 - i^{2} = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Portanto,
\frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i.

Resposta

-1 + i

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