Potências da unidade imaginária:
Resolva a equação: i^{n}=-i para n \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros n tais que
i^n = -i.
O conteúdo aqui é potência de número complexo, mais precisamente a periodicidade das potências de i.

Passo 2

Recordando as primeiras potências de i:
i^0 = 1,
i^1 = i,
i^2 = -1,
i^3 = -i,
i^4 = 1,
e a partir daí o padrão se repete com período 4.

Passo 3

Como as potências de i obedecem a
i^n = i^{n \bmod 4},
para que i^n = -i devemos ter
n \bmod 4 = 3,
pois i^3 = -i.

Passo 4

Logo os inteiros que satisfazem a equação são exatamente
n = 4k + 3,
com k \in \mathbb{Z}.

Resposta

n = 4k + 3,\;k\in\mathbb{Z}.

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