Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: fatorar o polinômio
em termos de suas raízes (reais ou complexas). Informações relevantes:
-
é um polinômio de grau . - Queremos escrever
como produto de fatores polinomiais de grau menor, idealmente até fatores lineares que mostram as raízes (pode ser que as raízes sejam complexas).
Passo 2
Idéia principal útil aqui (identidade de Sophie Germain): há uma fatoração conhecida para somas do tipo
. A identidade é
Vamos verificar rapidamente expandindo o lado direito para ficar seguro de onde vem isso:
Agrupando e cancelando termos simétricos (os termos com
em produto com
se cancelam), simplifica-se e resta
confirmando a identidade. Essa identidade é muito prática para casos como
(usar
e
).
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, obtemos a fatoração em quadráticos reais:
Explicação: substituí
e
na fórmula anterior, pois
.
Passo 4
Agora vamos encontrar as raízes desses quadráticos. Lembrete (fórmula quadrática): para uma equação
, as soluções são
onde
é o discriminante. Se o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 5
Calculemos o discriminante de
:
Como
, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
Portanto as raízes desse fator são
e
.
Passo 6
Agora para
:
novamente
. Aplicando a fórmula:
As raízes desse fator são
e
.
Passo 7
Agora escrevemos a fatoração em fatores lineares que exibem explicitamente as raízes (forma pedida: em termos das raízes, reais ou complexas). Cada quadrático é o produto dos seus dois fatores lineares correspondentes às raízes conjugadas:
Juntando tudo:
Passo 8
Para deixar os fatores lineares numa forma mais enxuta, podemos escrever explicitamente os sinais:
Isso já mostra todas as quatro raízes complexas:
e
. As raízes aparecem em pares de conjugados, e a multiplicação desses pares dá de volta os quadráticos reais encontrados no Passo 3.