Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):
p(x)=x^{4}+4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: fatorar o polinômio p(x)=x^{4}+4 em termos de suas raízes (reais ou complexas). Informações relevantes:
  • p(x) é um polinômio de grau 4.
  • Queremos escrever p(x) como produto de fatores polinomiais de grau menor, idealmente até fatores lineares que mostram as raízes (pode ser que as raízes sejam complexas).

Passo 2

Idéia principal útil aqui (identidade de Sophie Germain): há uma fatoração conhecida para somas do tipo a^{4}+4b^{4}. A identidade é
a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2}).
Vamos verificar rapidamente expandindo o lado direito para ficar seguro de onde vem isso:
\begin{aligned} (a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2}) &= a^{4} - (2ab)a^{2} + (2b^{2})a^{2} + (2ab)a^{2} - (2ab)(2ab) + (2ab)(2b^{2}) \\\ &\quad + (2b^{2})a^{2} - (2b^{2})(2ab) + (2b^{2})(2b^{2}). \end{aligned}
Agrupando e cancelando termos simétricos (os termos com \pm 2ab em produto com a^{2} se cancelam), simplifica-se e resta
a^{4} + 4b^{4},
confirmando a identidade. Essa identidade é muito prática para casos como x^{4}+4 (usar a=x e b=1).

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=1, obtemos a fatoração em quadráticos reais:
x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2).
Explicação: substituí a=x e b=1 na fórmula anterior, pois 4=4\cdot1^{4}.

Passo 4

Agora vamos encontrar as raízes desses quadráticos. Lembrete (fórmula quadrática): para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde b^{2}-4ac é o discriminante. Se o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 5

Calculemos o discriminante de x^{2}+2x+2:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta=-4<0, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i.
Portanto as raízes desse fator são -1+i e -1-i.

Passo 6

Agora para x^{2}-2x+2:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4,
novamente \Delta=-4<0. Aplicando a fórmula:
x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i.
As raízes desse fator são 1+i e 1-i.

Passo 7

Agora escrevemos a fatoração em fatores lineares que exibem explicitamente as raízes (forma pedida: em termos das raízes, reais ou complexas). Cada quadrático é o produto dos seus dois fatores lineares correspondentes às raízes conjugadas:
x^{2}-2x+2=(x-(1+i))(x-(1-i)),
x^{2}+2x+2=(x-(-1+i))(x-(-1-i))=(x+1-i)(x+1+i).
Juntando tudo:
x^{4}+4=(x-(1+i))(x-(1-i))(x-(-1+i))(x-(-1-i)).

Passo 8

Para deixar os fatores lineares numa forma mais enxuta, podemos escrever explicitamente os sinais:
x^{4}+4=(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i).
Isso já mostra todas as quatro raízes complexas: 1\pm i e -1\pm i. As raízes aparecem em pares de conjugados, e a multiplicação desses pares dá de volta os quadráticos reais encontrados no Passo 3.

Resposta

x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)
x^{4}+4=(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)

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