Efetue as operações indicadas:
\left(11 x^{2}-2-x+10 x^{3}\right):(5 x-2)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão do polinômio dado pelo polinômio linear. As informações relevantes são:
  • O dividendo (polinômio que será dividido) é 11x^{2}-2-x+10x^{3}.
  • O divisor (polinômio pelo qual dividimos) é 5x-2.
O objetivo é encontrar o quociente (e o possível resto) da divisão \left(11x^{2}-2-x+10x^{3}\right):(5x-2).

Passo 2

Primeiro colocamos o dividendo em ordem decrescente das potências de x. Reorganizando os termos:
10x^{3}+11x^{2}-x-2
O divisor é
5x-2.
Vou usar a divisão polinomial (divisão longa): a cada passo dividimos o termo líder do polinômio atual pelo termo líder do divisor, obtemos um termo do quociente, multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos do polinômio atual; então trazemos o próximo termo e repetimos até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.

Passo 3

Começamos dividindo o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor:
  • Termo líder do dividendo: 10x^{3}.
  • Termo líder do divisor: 5x.
Calculamos o primeiro termo do quociente:
\frac{10x^{3}}{5x}=2x^{2}.
Multiplicamos o divisor por esse termo:
(5x-2)\cdot 2x^{2} = 10x^{3}-4x^{2}.
Subtraímos esse produto do dividendo (ou seja, fazemos (10x^{3}+11x^{2})-(10x^{3}-4x^{2}) nos dois primeiros termos):
(10x^{3}+11x^{2})-(10x^{3}-4x^{2})=15x^{2}.
Agora trazemos os termos restantes do dividendo para formar o novo polinômio atual:
15x^{2}-x.

Passo 4

Repetimos o processo com o polinômio atual 15x^{2}-x:
  • Dividimos o termo líder 15x^{2} por 5x:
\frac{15x^{2}}{5x}=3x.
Multiplicamos o divisor por 3x:
(5x-2)\cdot 3x = 15x^{2}-6x.
Subtraímos esse produto do polinômio atual:
(15x^{2}-x)-(15x^{2}-6x)=5x.
Agora trazemos o termo constante que falta do dividendo, formando:
5x-2.

Passo 5

Continuamos com 5x-2:
  • Dividimos o termo líder 5x por 5x:
\frac{5x}{5x}=1.
Multiplicamos o divisor por 1:
(5x-2)\cdot 1 = 5x-2.
Subtraímos:
(5x-2)-(5x-2)=0.
Como o restante é 0, a divisão é exata (não há resto). Os termos do quociente encontrados, na ordem em que surgiram, são 2x^{2}, 3x e 1. Portanto o quociente é
2x^{2}+3x+1.

Passo 6

Fazemos uma verificação rápida multiplicando o quociente pelo divisor para confirmar que recuperamos o dividendo:
Multiplicando termo a termo:
(5x-2)(2x^{2}+3x+1)=
5x\cdot 2x^{2}+5x\cdot 3x+5x\cdot 1 -2\cdot 2x^{2}-2\cdot 3x-2\cdot 1
=10x^{3}+15x^{2}+5x-4x^{2}-6x-2
=10x^{3}+(15x^{2}-4x^{2})+(5x-6x)-2
=10x^{3}+11x^{2}-x-2,
que é exatamente o dividendo reorganizado. Verificação concluída.

Resposta

\,2x^{2}+3x+1\,

Exercícios relacionados