Efetue as operações indicadas:
\left(4 a^{2}-7 a+3\right):(4 a-3)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão do polinômio \left(4a^{2}-7a+3\right) pelo polinômio \left(4a-3\right).
Informações dadas:
\quad - Dividendo: \;4a^{2}-7a+3.
\quad - Divisor: \;4a-3.
O que devemos obter: o quociente e o resto da divisão (ou, equivalentemente, escrever o resultado da divisão).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para polinômios P(a) e D(a) com D(a)\neq0, existe uma divisão polinomial que fornece polinômio quociente Q(a) e resto R(a) tais que
P(a)=D(a)\cdot Q(a)+R(a),
onde \deg(R)<\deg(D) (o grau do resto é menor que o grau do divisor).
Estratégia prática: usamos a divisão algébrica (divisão longa de polinômios) — fazemos passo a passo dividindo os termos de maior grau, multiplicando o divisor pelo termo do quociente obtido e subtraindo do dividendo parcial, repetindo até o resto ter grau menor que o divisor.

Passo 3

Iniciando a divisão longa: dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor.
O termo de maior grau do dividendo é \;4a^{2} e do divisor é \;4a. Então
\frac{4a^{2}}{4a}=a.
Portanto o primeiro termo do quociente é \;a. Agora multiplicamos o divisor por \;a e subtraímos do dividendo:
a\cdot(4a-3)=4a^{2}-3a.
Subtraindo desse produto do dividendo:
\left(4a^{2}-7a+3\right)-\left(4a^{2}-3a\right) = (4a^{2}-4a^{2})+(-7a+3a)+3 = -4a+3.
Então o resto parcial após o primeiro passo é \;-4a+3.

Passo 4

Agora repetimos o procedimento com o novo polinômio -4a+3. Dividimos o termo de maior grau -4a pelo termo de maior grau do divisor 4a:
\frac{-4a}{4a}=-1.
Então o próximo termo do quociente é -1. Multiplicando o divisor por -1:
-1\cdot(4a-3)=-4a+3.
Subtraindo desse produto o resto parcial:
\left(-4a+3\right)-\left(-4a+3\right)=0.
O resto final é \;0, isto é, a divisão é exata.

Passo 5

Conclusão dos passos: juntando os termos obtidos do quociente, temos
Q(a)=a-1,
e o resto é
R(a)=0.
Verificação rápida (cheque que sempre vale a pena na prova): multiplicando o divisor pelo quociente e somando o resto:
(4a-3)(a-1)+0=4a^{2}-7a+3,
que reconstrói o dividendo, logo está correto. Isso também nos diz que o polinômio \;4a^{2}-7a+3 é fatorável como (4a-3)(a-1).

Resposta

Quociente: a-1
Resto: 0

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