Efetue as operações indicadas:
\left(x^{4}-3 x^{2}-5 x+1\right)(-4 x)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a multiplicação do polinômio pela monômio. As informações dadas são:
\text{Multiplicar } \left(x^{4}-3 x^{2}-5 x+1\right)\text{ por }(-4 x).
Ou seja, aplicar a operação
(-4x)\cdot\left(x^{4}-3x^{2}-5x+1\right).

Passo 2

Conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Propriedade distributiva: para multiplicar um monômio por um polinômio, multiplico o monômio por cada termo do polinômio e depois somo os resultados. Em símbolos:
a\cdot(b+c+d)=a\cdot b + a\cdot c + a\cdot d.
  • Regra de potências para produtos com a mesma base: ao multiplicar \;x^{m}\cdot x^{n}\; somam-se os expoentes:
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.
  • Multiplicação de coeficientes: os sinais e valores numéricos multiplicam-se normalmente (por exemplo -4\cdot(-3)=12).
Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Multiplico (-4x) pelo primeiro termo \;x^{4}:
(-4x)\cdot x^{4} = -4\cdot 1 \cdot x^{1+4} = -4x^{5}.

Passo 4

Multiplico (-4x) pelo segundo termo \;-3x^{2}:
(-4x)\cdot(-3x^{2}) = (-4)\cdot(-3)\cdot x^{1+2} = 12x^{3}.
Aqui usei que -4\cdot(-3)=12 e x^{1}\cdot x^{2}=x^{3}.

Passo 5

Multiplico (-4x) pelo terceiro termo \;-5x:
(-4x)\cdot(-5x) = (-4)\cdot(-5)\cdot x^{1+1} = 20x^{2}.

Passo 6

Multiplico (-4x) pelo quarto termo \;1:
(-4x)\cdot 1 = -4x.

Passo 7

Somando todos os produtos obtidos (organizando em ordem decrescente dos expoentes) temos:
-4x^{5} + 12x^{3} + 20x^{2} - 4x.

Resposta

-4x^{5}+12x^{3}+20x^{2}-4x

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