Efetue as operações indicadas:
2 x\left(y^{2}+x y+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações indicadas na expressão
2 x\left(y^{2}+x y+1\right).
Informações dadas:
  • A expressão é 2 x\left(y^{2}+x y+1\right).
  • A operação indicada é multiplicar 2x pelo polinômio dentro dos parênteses.
    O objetivo final é escrever o resultado dessa multiplicação de forma expandida e simplificada.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. A forma básica é
a(b+c)=ab+ac,
onde a, b e c são quaisquer expressões (números, variáveis ou produtos). Isso significa que multiplicamos a por cada termo dentro dos parênteses e somamos os resultados. Para três termos a ideia é
a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Passo 3

Aplicando a distributiva à nossa expressão, multiplicamos 2x pelo primeiro termo dentro do parêntese, que é y^{2}. Fazendo isso obtemos
2x\cdot y^{2}=2x y^{2}.
Aqui usei que a ordem dos fatores não importa (comutatividade da multiplicação), então escrevi como 2x y^{2}.

Passo 4

Agora multiplicamos 2x pelo segundo termo dentro do parêntese, que é x y. Primeiro agrupo os fatores iguais:
2x\cdot x y = 2 \cdot x \cdot x \cdot y.
Como x\cdot x = x^{2}, isso vira
2x\cdot x y = 2 x^{2} y.

Passo 5

Em seguida multiplicamos 2x pelo terceiro termo dentro do parêntese, que é 1. Qualquer coisa multiplicada por 1 fica igual, então
2x\cdot 1 = 2x.

Passo 6

Somamos os três resultados obtidos aplicando a distributiva:
2x y^{2} + 2 x^{2} y + 2x.

Passo 7

Verificamos se há termos semelhantes (termos que possam ser somados): os três termos têm diferentes combinações de potências de x e y ( x y^{2}, x^{2}y e x), portanto não há combinação possível. A expressão já está na forma expandida e simplificada.

Passo 8

Opcionalmente podemos escrever os termos numa ordem convencional (por exemplo, agrupando graus maiores primeiro), ficando
2 x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x,
mas isso é apenas uma reordenação dos termos já obtidos.

Resposta

2 x y^{2} + 2 x^{2} y + 2 x

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