Efetue as operações indicadas:
3 y\left(4 x^{2}-2 x^{3}-7\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação indicada: 3 y\left(4 x^{2}-2 x^{3}-7\right).
Informações dadas: temos um monômio 3y que deve multiplicar cada termo do polinômio 4x^{2}-2x^{3}-7. A tarefa é aplicar essa multiplicação e apresentar o resultado simplificado.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição/subtração. A propriedade diz que, para quaisquer números ou expressões a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Isto significa que quando multiplicamos uma expressão por um polinômio, multiplicamos essa expressão por cada termo do polinômio e então somamos os resultados. Exemplo simples para entender a ideia:
2(3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=6+8=14.

Passo 3

Aplicando a distributiva ao nosso caso, multiplicamos 3y pelo primeiro termo do polinômio, que é 4x^{2}. Calculemos cuidadosamente:
3y\cdot 4x^{2}=(3\cdot 4)\,(y\cdot x^{2})=12\,x^{2}y.
Explicação: multiplicamos os coeficientes 3 e 4 para obter 12, e juntamos as variáveis y e x^{2} (pela comutatividade podemos escrever x^{2}y).

Passo 4

Agora multiplicamos 3y pelo segundo termo do polinômio, que é -2x^{3}:
3y\cdot(-2x^{3})=(3\cdot -2)\,(y\cdot x^{3})=-6\,x^{3}y.
Explicação: o sinal negativo do termo é preservado (por isso -6). Novamente multiplicamos coeficientes e juntamos as variáveis.

Passo 5

Finalmente multiplicamos 3y pelo terceiro termo do polinômio, que é -7:
3y\cdot(-7)=(3\cdot -7)\,y=-21\,y.
Explicação: aqui não há potência de x, então só fica o fator y multiplicado pelo produto dos coeficientes.

Passo 6

Os produtos que obtivemos são, listando-os: -6\,x^{3}y, 12\,x^{2}y e -21\,y. Esses três termos, somados, formam o polinômio resultado da distribuição. Uma prática comum é ordenar os termos por potência decrescente de x (do maior grau para o menor): os termos na ordem são -6\,x^{3}y, 12\,x^{2}y, -21\,y.

Passo 7

Verificação numérica rápida para ter certeza: escolha x=1 e y=2. Avaliando a expressão original:
3\cdot 2\bigl(4\cdot 1^{2}-2\cdot 1^{3}-7\bigr)=6(4-2-7)=6(-5)=-30.
Avalie os três produtos obtidos:
-6\cdot 1^{3}\cdot 2=-12,\qquad 12\cdot 1^{2}\cdot 2=24,\qquad -21\cdot 2=-42.
Somando: -12+24-42=-30, que coincide com a avaliação da expressão original — bom sinal, está correto.

Passo 8

Dica para a prova: multiplique termo a termo com calma, preste atenção aos sinais (positivo/negativo) e combine coeficientes separadamente das variáveis. Ordenar por grau de x deixa a resposta mais bonita e padronizada. Você conseguiu — respira fundo e manda ver na próxima!

Resposta

-6x^{3}y+12x^{2}y-21y

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