Efetue as operações a seguir.
Multiplicação (expresse as respostas na forma retangular para itens (a) até (d) e em forma polar para os restantes):
(400-j 200)(-0,01-j 0,5)(-1+j 3)

Passo 1

O enunciado pede calcular o produto dos três números complexos
(400 - j\,200)\,(-0,01 - j\,0,5)\,(-1 + j\,3).
Informações dadas:
  • Primeiro fator: \,400 - j\,200.
  • Segundo fator: -0,01 - j\,0,5.
  • Terceiro fator: -1 + j\,3.
O objetivo é efetuar a multiplicação e apresentar o resultado. Vou calcular passo a passo para obter primeiro a forma retangular (parte real + j parte imaginária) e depois converter para a forma polar (módulo e argumento).

Passo 2

Primeiro, multiplico os dois últimos fatores para simplificar os cálculos:
z_2 = -0,01 - j\,0,5,\qquad z_3 = -1 + j\,3.
Usamos a fórmula da multiplicação de complexos em forma retangular: se a+ j b e c + j d então
(a + j b)(c + j d) = (ac - bd) + j(ad + bc).
Aqui a=-0,01, b=-0,5, c=-1, d=3. Calculando termo a termo:
ac = (-0,01)(-1)=0,01, \qquad bd = (-0,5)(3)=-1,5,
logo a parte real é
ac - bd = 0,01 - (-1,5) = 1,51.
Para a parte imaginária:
ad = (-0,01)(3)=-0,03, \qquad bc = (-0,5)(-1)=0,5,
logo
ad + bc = -0,03 + 0,5 = 0,47.
Portanto
z_2 z_3 = 1,51 + j\,0,47.

Passo 3

Agora multiplicamos o resultado acima pelo primeiro fator z_1 = 400 - j\,200. Use novamente a fórmula
(a + j b)(c + j d) = (ac - bd) + j(ad + bc),
com a=400, b=-200, c=1,51, d=0,47.
Calcule as partes:
ac = 400\cdot 1,51 = 604,
bd = (-200)\cdot 0,47 = -94,
então a parte real é
ac - bd = 604 - (-94) = 604 + 94 = 698.
Para a parte imaginária:
ad = 400\cdot 0,47 = 188,
bc = (-200)\cdot 1,51 = -302,
logo
ad + bc = 188 + (-302) = -114.
Portanto o produto total em forma retangular é
698 - j\,114.

Passo 4

Vou explicar rapidamente o que obtivemos: a forma retangular de um número complexo é dada por \text{Re} + j\,\text{Im}, onde \text{Re} é a parte real e \text{Im} é a parte imaginária. No nosso caso:
\text{Re} = 698,\qquad \text{Im} = -114,
então o número final é \,698 - j\,114.

Passo 5

Agora converto para a forma polar. Na forma polar um número complexo se escreve r\angle\theta, onde:
  • r (módulo) é r = \sqrt{(\text{Re})^2 + (\text{Im})^2}.
  • \theta (argumento) é \theta = \operatorname{atan2}(\text{Im},\text{Re}) — isto é, o arco-tangente da razão \dfrac{\text{Im}}{\text{Re}} levando em conta o quadrante.
Calcule o módulo:
r = \sqrt{698^{2} + (-114)^{2}}.
Compute os quadrados:
698^{2} = 487\,204, \qquad 114^{2} = 12\,996,
logo
r = \sqrt{487\,204 + 12\,996} = \sqrt{500\,200}.
Aproximando,
r \approx 707,248.
Calcule o argumento (uso graus para ficar mais intuitivo):
\theta = \operatorname{atan2}(-114,\,698).
Primeiro a razão:
\frac{-114}{698} \approx -0,1633238.
Tomando arco-tangente (valor em radianos) e convertendo para graus:
\theta \approx -9,28^\circ.
Observação sobre o sinal: como a parte real é positiva ( 698>0) e a parte imaginária é negativa ( -114<0), o ângulo está no quarto quadrante, pequeno e negativo, então -9,28^\circ está correto.
Assim, em forma polar (módulo ângulo) temos aproximadamente
707,248\angle -9,28^\circ.

Resposta

698 - j\,114
707,248\angle -9,28^\circ

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