Efetue as operações a seguir.
Multiplicação (expresse as respostas na forma retangular para itens (a) até (d) e em forma polar para os restantes):
Multiplicação (expresse as respostas na forma retangular para itens (a) até (d) e em forma polar para os restantes):
Passo 1
O enunciado pede calcular o produto dos três números complexos
Informações dadas:
- Primeiro fator:
. - Segundo fator:
. - Terceiro fator:
.
O objetivo é efetuar a multiplicação e apresentar o resultado. Vou calcular passo a passo para obter primeiro a forma retangular (parte real + j parte imaginária) e depois converter para a forma polar (módulo e argumento).
Passo 2
Primeiro, multiplico os dois últimos fatores para simplificar os cálculos:
Usamos a fórmula da multiplicação de complexos em forma retangular: se
e
então
Aqui
,
,
,
. Calculando termo a termo:
logo a parte real é
Para a parte imaginária:
logo
Portanto
Passo 3
Agora multiplicamos o resultado acima pelo primeiro fator
. Use novamente a fórmula
com
,
,
,
.
Calcule as partes:
então a parte real é
Para a parte imaginária:
logo
Portanto o produto total em forma retangular é
Passo 4
Vou explicar rapidamente o que obtivemos: a forma retangular de um número complexo é dada por
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso:
então o número final é
.
Passo 5
Agora converto para a forma polar. Na forma polar um número complexo se escreve
, onde:
-
(módulo) é . -
(argumento) é — isto é, o arco-tangente da razão levando em conta o quadrante.
Calcule o módulo:
Compute os quadrados:
logo
Aproximando,
Calcule o argumento (uso graus para ficar mais intuitivo):
Primeiro a razão:
Tomando arco-tangente (valor em radianos) e convertendo para graus:
Observação sobre o sinal: como a parte real é positiva (
) e a parte imaginária é negativa (
), o ângulo está no quarto quadrante, pequeno e negativo, então
está correto.
Assim, em forma polar (módulo ângulo) temos aproximadamente