Efetue as operações a seguir.
Multiplicação (expresse as respostas na forma retangular para itens (a) até (d) e em forma polar para os restantes):
\left(2 \angle 60^{\circ}\right)\left(4 \angle 22^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar os dois números complexos em forma polar e apresentar a resposta em forma retangular. As informações dadas são:
  • Primeiro número: 2 \angle 60^\circ. Ou seja, r_1=2 e \theta_1=60^\circ.
  • Segundo número: 4 \angle 22^\circ. Ou seja, r_2=4 e \theta_2=22^\circ.

Passo 2

Regra de multiplicação em forma polar (fórmula e significado das variáveis):
(r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=r_1 r_2 \angle(\theta_1+\theta_2).
Aqui:
  • r_1 e r_2 são os módulos (magnitudes) dos números complexos;
  • \theta_1 e \theta_2 são os argumentos (ângulos) em graus;
  • O produto tem módulo r_1 r_2 e argumento \theta_1+\theta_2.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados:
r_1 r_2 = 2\cdot 4 = 8, \qquad \theta_1+\theta_2 = 60^\circ + 22^\circ = 82^\circ.
Portanto o produto em forma polar é
8\angle 82^\circ.

Passo 4

Para passar para a forma retangular usamos a relação entre coordenadas polares e retangulares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde x é a parte real, y é a parte imaginária, r é o módulo e \theta é o ângulo (aqui em graus). A forma retangular é
x + j y,
sendo j=\sqrt{-1} (símbolo usado em engenharia; em matemática costuma-se usar i, ambos representam a unidade imaginária).

Passo 5

Calcular x e y para r=8 e \theta=82^\circ. Observação útil: 82^\circ = 90^\circ - 8^\circ, então
\cos 82^\circ = \sin 8^\circ,\qquad \sin 82^\circ = \cos 8^\circ.
Usando as aproximações (valores trigonométricos):
\sin 8^\circ \approx 0{,}139173,\qquad \cos 8^\circ \approx 0{,}990268.
Logo
x = 8\cos 82^\circ = 8\sin 8^\circ \approx 8\cdot 0{,}139173 = 1{,}113384,
y = 8\sin 82^\circ = 8\cos 8^\circ \approx 8\cdot 0{,}990268 = 7{,}922144.

Passo 6

Arredondando para três casas decimais (prática comum em provas):
x \approx 1{,}113,\qquad y \approx 7{,}922.
Portanto a forma retangular do produto é
1{,}113 + j\,7{,}922.

Resposta

1{,}113 + j\,7{,}922

Exercícios relacionados