Efetue as operações e simplifique quando possível
\frac{x+1}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2} (1 pt)

Passo 1

O enunciado pede: efetuar a operação e simplificar quando possível a expressão
\frac{x+1}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2}.
Informações dadas importantes:
\text{numeradores: } x+1 \quad\text{e}\quad 2,
\text{denominadores: } x^{2}-4 \quad\text{e}\quad x+2.
Condição a lembrar (domínio): não podemos ter denominador zero, logo x\neq 2 e x\neq -2.

Passo 2

Primeira ação útil: fatorar o denominador x^{2}-4. Isso é uma diferença de quadrados. Regra: para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=2, temos
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Agora queremos somar/subtrair frações com denominadores diferentes: precisamos de um denominador comum (mínimo). Os denominadores são (x-2)(x+2) e (x+2). O mínimo múltiplo comum (MMC) é
(x-2)(x+2).
Para reescrever a segunda fração com esse denominador, multiplicamos numerador e denominador por (x-2). Assim:
\frac{2}{x+2}=\frac{2\cdot(x-2)}{(x+2)\cdot(x-2)}=\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}.

Passo 4

Reescrevendo ambas as frações com o denominador comum (x-2)(x+2):
\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}-\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
Como os denominadores agora são iguais, podemos juntar as frações subtraindo os numeradores:
\frac{x+1-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}.

Passo 5

Vamos desenvolver e simplificar o numerador passo a passo. Primeiro distribuir o 2 dentro dos parênteses:
2(x-2)=2x-4.
Então o numerador fica
x+1-(2x-4).
Ao tirar o parêntese com o sinal de menos, temos
x+1-2x+4.
Agrupando termos semelhantes:
(x-2x)+(1+4)=-x+5.
Portanto a expressão é
\frac{-x+5}{(x-2)(x+2)}.

Passo 6

Podemos reescrever o numerador trocando o sinal para ficar numa forma mais “positiva” no início:
-x+5=5-x.
Então uma forma final simplificada é
\frac{5-x}{(x-2)(x+2)}.
Não há fator comum entre o numerador 5-x e o denominador (x-2)(x+2), então não é possível cancelar fatores adicionais. Lembrando a restrição do domínio: x\neq 2 e x\neq -2.

Resposta

\frac{5-x}{(x-2)(x+2)}

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