Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{\frac{x^{2}}{y^{2}}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica
\frac{\frac{x^{2}}{y^{2}}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}}.
Informações e condições relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As variáveis presentes são x e y.
  • Para que todas as frações façam sentido, é necessário que x\neq 0 e y\neq 0.
  • Observação útil: a expressão será indefinida se o denominador final se anular; isso acontece quando x+y=0. Logo, também devemos ter x+y\neq 0 para a forma final com cancelamento ser válida.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro reescrevo com potências claras:
\frac{x^{2}}{y^{2}}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Para somar ou subtrair frações é prático colocar no mesmo denominador. O denominador comum é x^{2}y^{2}. Colocando as parcelas sobre esse denominador:
\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{2}y^{2}},\qquad \frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{y^{4}}{x^{2}y^{2}}.
Portanto o numerador vira
\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}y^{2}}.
Dica didática: aqui usei a técnica padrão de somar/subtrair frações — colocar sobre um denominador comum — e reconheci que x^{4}-y^{4} é uma diferença de potências que logo poderemos fatorar.

Passo 3

Agora simplifico o denominador da expressão original:
\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}.
Também coloco tudo sobre o mesmo denominador x^{2}y^{2}. Calculando cada termo:
\frac{1}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}y^{2}},\qquad \frac{2}{x y}=\frac{2xy}{x^{2}y^{2}},\qquad \frac{1}{y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}y^{2}}.
Somando os numeradores obtemos
\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{y^{2}+2xy+x^{2}}{x^{2}y^{2}}.
Repare que y^{2}+2xy+x^{2} é um quadrado perfeito; isto é
y^{2}+2xy+x^{2}=(x+y)^{2}.
Logo
\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}.
Dica didática: reconhecer formatos notáveis (como (x+y)^{2}) facilita muito a simplificação.

Passo 4

Agora dividimos o numerador pelo denominador já simplificados. A expressão original fica
\frac{\dfrac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}y^{2}}}{\dfrac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}}.
Ao dividir duas frações com o mesmo denominador x^{2}y^{2}, esses denominadores se cancelam:
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}y^{2}}\div\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{x^{4}-y^{4}}{(x+y)^{2}}.
Agora fatoro o numerador usando diferença de quadrados duas vezes:
x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2}).
Substituindo na fração:
\frac{x^{4}-y^{4}}{(x+y)^{2}}=\frac{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})}{(x+y)^{2}}.
Podemos cancelar um fator (x+y) no numerador com um no denominador (desde que x+y\neq 0, que já observamos antes), ficando
\frac{(x-y)(x^{2}+y^{2})}{x+y}.
Dica didática: cancelar fatores comuns entre numerador e denominador é o passo-chave em simplificações. Sempre atentar para as condições que permitem o cancelamento (não dividir por zero).

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): tomo x=2 e y=1 (valores que respeitam x\neq 0, y\neq 0, x+y\neq 0).
  • Avaliando a expressão original:
\frac{\dfrac{2^{2}}{1^{2}}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{2}{2\cdot1}+\dfrac{1}{1^{2}}} =\frac{4-\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{4}+1+\;1} =\frac{\tfrac{15}{4}}{\tfrac{9}{4}}=\tfrac{15}{9}=\tfrac{5}{3}.
  • Avaliando a forma simplificada:
\frac{(2-1)(2^{2}+1^{2})}{2+1}=\frac{1\cdot(4+1)}{3}=\frac{5}{3}.
Os dois resultados coincidem, o que confirma a simplificação.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-y)(x^{2}+y^{2})}{x+y}

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