Simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica
Informações e condições relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As variáveis presentes são
e . - Para que todas as frações façam sentido, é necessário que
e . - Observação útil: a expressão será indefinida se o denominador final se anular; isso acontece quando
. Logo, também devemos ter para a forma final com cancelamento ser válida.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro reescrevo com potências claras:
Para somar ou subtrair frações é prático colocar no mesmo denominador. O denominador comum é
. Colocando as parcelas sobre esse denominador:
Portanto o numerador vira
Dica didática: aqui usei a técnica padrão de somar/subtrair frações — colocar sobre um denominador comum — e reconheci que
é uma diferença de potências que logo poderemos fatorar.
Passo 3
Agora simplifico o denominador da expressão original:
Também coloco tudo sobre o mesmo denominador
. Calculando cada termo:
Somando os numeradores obtemos
Repare que
é um quadrado perfeito; isto é
Logo
Dica didática: reconhecer formatos notáveis (como
) facilita muito a simplificação.
Passo 4
Agora dividimos o numerador pelo denominador já simplificados. A expressão original fica
Ao dividir duas frações com o mesmo denominador
, esses denominadores se cancelam:
Agora fatoro o numerador usando diferença de quadrados duas vezes:
Substituindo na fração:
Podemos cancelar um fator
no numerador com um no denominador (desde que
, que já observamos antes), ficando
Dica didática: cancelar fatores comuns entre numerador e denominador é o passo-chave em simplificações. Sempre atentar para as condições que permitem o cancelamento (não dividir por zero).
Passo 5
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): tomo
e
(valores que respeitam
,
,
).
- Avaliando a expressão original:
- Avaliando a forma simplificada:
Os dois resultados coincidem, o que confirma a simplificação.