Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{a b^{-2}\left(a^{-1} b^{2}\right)^{4}\left(a b^{-1}\right)^{2}}{a^{-3} b\left(a^{2} b^{-1}\right)\left(a^{-1} b\right)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a seguinte expressão algébrica (toda a expressão abaixo foi dada no enunciado):
\frac{a b^{-2}\left(a^{-1} b^{2}\right)^{4}\left(a b^{-1}\right)^{2}}{a^{-3} b\left(a^{2} b^{-1}\right)\left(a^{-1} b\right)}
Objetivo: reduzir essa expressão aplicando as leis de potências e escrevendo o resultado na forma mais simples possível. Assume-se a\neq0 e b\neq0.

Passo 2

Relembrando as leis de potências que vamos usar (com explicação simples):
  • Produto de potências com mesma base:
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n},
ou seja, ao multiplicar potências da mesma base somam-se os expoentes.
  • Potência de potência:
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n},
ou seja, multiplica-se os expoentes.
  • Divisão de potências com mesma base:
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n},
ou seja, ao dividir subtrai-se os expoentes.
  • Expoente negativo:
x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.
Essas regras valem para qualquer base não nula. Vou aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vou expandir as potências que aparecem entre parênteses usando a regra “potência de potência”. Reescrevo a expressão inicial aqui (igual ao enunciado):
\frac{a b^{-2}\left(a^{-1} b^{2}\right)^{4}\left(a b^{-1}\right)^{2}}{a^{-3} b\left(a^{2} b^{-1}\right)\left(a^{-1} b\right)}

Passo 4

Calcular cada potência composta:
  • Aplicando \left(a^{-1} b^{2}\right)^{4} = a^{-1\cdot4} b^{2\cdot4}=a^{-4} b^{8}.
  • Aplicando \left(a b^{-1}\right)^{2} = a^{1\cdot2} b^{-1\cdot2}=a^{2} b^{-2}.
    Os fatores do denominador em parênteses não têm expoente extra, então permanecem a^{2} b^{-1} e a^{-1} b.
Substituindo essas simplificações, a expressão fica:
\frac{a b^{-2}\cdot a^{-4} b^{8}\cdot a^{2} b^{-2}}{a^{-3} b\cdot a^{2} b^{-1}\cdot a^{-1} b}

Passo 5

Agora agrupamos os fatores por base a e por base b no numerador, somando expoentes (produto = soma de expoentes):
  • Expoente de a no numerador: 1 + (-4) + 2. Aqui o 1 vem do fator a inicial (ou seja a^{1}).
    Calcule:
1 + (-4) + 2 = 1-4+2 = -1.
Logo o total em a no numerador é a^{-1}.
  • Expoente de b no numerador: -2 + 8 + (-2).
    Calcule:
-2 + 8 -2 = 4.
Logo o total em b no numerador é b^{4}.
Portanto o numerador combinado é
a^{-1} b^{4}.

Passo 6

Agora o denominador: somamos expoentes dos fatores em a e b:
  • Expoente de a no denominador: -3 + 2 + (-1).
    Calcule:
-3 + 2 -1 = -2.
Logo o total em a no denominador é a^{-2}.
  • Expoente de b no denominador: 1 + (-1) + 1.
    Calcule:
1 -1 +1 = 1.
Logo o total em b no denominador é b^{1}=b.
Portanto o denominador combinado é
a^{-2} b.

Passo 7

Agora dividimos o numerador pelo denominador, aplicando a regra \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n} para cada base separadamente. Temos:
\frac{a^{-1} b^{4}}{a^{-2} b} = a^{-1-(-2)}\; b^{4-1}.
Calcule os expoentes:
  • Para a: -1-(-2) = -1+2 = 1.
  • Para b: 4-1=3.
Logo o resultado é
a^{1} b^{3}.

Passo 8

Escrevendo de forma mais simples (sempre retirando expoente 1 quando possível):
a b^{3}.

Resposta

a b^{3}

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