Efetue os produtos dados a seguir:
\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto
\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}+4\right).
Informações dadas:
  • Há dois fatores: \left(y^{2}-4\right) e \left(y^{2}+4\right).
    O que se pede:
  • Efetuar (multiplicar) esses dois polinómios e apresentar o resultado simplificado.

Passo 2

Uma forma direta e muito útil é usar a identidade conhecida como diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões. Essa identidade é fácil de entender: ao multiplicar os dois binômios os termos mistos se cancelam, sobrando a^{2}-b^{2}. Vou demonstrar rapidamente para ficar claro:
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
Aqui a e b representam símbolos genéricos; mais adiante vamos atribuir valores concretos a eles.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso produto, identificamos
a=y^{2},\qquad b=4.
Agora calculamos a^{2} e b^{2}:
a^{2}=(y^{2})^{2}=y^{4}, \qquad b^{2}=4^{2}=16.
Pela identidade da diferença de quadrados:
\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}+4\right)=y^{4}-16.

Passo 4

Para ver o mesmo resultado por multiplicação termo a termo (método FOIL/distribuição), faço:
y^{2}\cdot\left(y^{2}+4\right)=y^{4}+4y^{2},
-4\cdot\left(y^{2}+4\right)=-4y^{2}-16.
Somando os dois resultados:
(y^{4}+4y^{2})+(-4y^{2}-16)=y^{4}+(4y^{2}-4y^{2})-16=y^{4}-16.
Observe que os termos em y^{2} se cancelam, deixando y^{4}-16, igual ao obtido com a identidade.

Passo 5

Como comentário extra útil para provas: a expressão final y^{4}-16 também é uma diferença de quadrados, pois
y^{4}-16=(y^{2})^{2}-4^{2}=(y^{2}-4)(y^{2}+4).
Isso mostra que a multiplicação original era justamente essa diferença de quadrados; além disso pode-se fatorar mais:
y^{2}-4=(y-2)(y+2),
portanto a fatoração completa em fatores lineares e quadráticos reais é
y^{4}-16=(y-2)(y+2)(y^{2}+4).

Resposta

y^{4}-16

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