Efetue os produtos dados:
3 x^{2}\left(x^{3}-2 x^{2}-4 x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto entre o monômio e o polinômio e apresentar o resultado simplificado. As informações dadas são:
  • O monômio: 3x^{2}.
  • O polinômio: \left(x^{3}-2x^{2}-4x+5\right).
    A tarefa é multiplicar 3x^{2} por cada termo do polinômio e apresentar o polinômio resultante.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição: para quaisquer números (ou expressões) a,b,c vale
a(b+c)=ab+ac.
Aqui a será o monômio 3x^{2} e b,c,\dots serão os termos do polinômio.
Também usaremos a regra de potências para produtos de potências de mesma base: para quaisquer inteiros m,n,
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.
Nessa regra, m e n são os expoentes das potências de x; ao multiplicar, soma-se os expoentes. Ao multiplicar coeficientes numéricos, multiplica-se os números normalmente.

Passo 3

Aplicando a distributiva, multiplicamos 3x^{2} por cada termo do polinômio:
3x^{2}\left(x^{3}-2x^{2}-4x+5\right)=3x^{2}\cdot x^{3}+3x^{2}\cdot(-2x^{2})+3x^{2}\cdot(-4x)+3x^{2}\cdot 5.

Passo 4

Calculemos termo a termo, mostrando coeficiente e expoentes:
  • Para 3x^{2}\cdot x^{3}: o coeficiente é 3\cdot 1=3 e os expoentes somam 2+3=5. Logo 3x^{2}\cdot x^{3}=3x^{5}.
  • Para 3x^{2}\cdot(-2x^{2}): o coeficiente é 3\cdot(-2)=-6 e os expoentes somam 2+2=4. Logo 3x^{2}\cdot(-2x^{2})=-6x^{4}.
  • Para 3x^{2}\cdot(-4x): o coeficiente é 3\cdot(-4)=-12 e os expoentes somam 2+1=3. Logo 3x^{2}\cdot(-4x)=-12x^{3}.
  • Para 3x^{2}\cdot 5: o coeficiente é 3\cdot 5=15 e o expoente de x em 5 é 0, então 2+0=2. Logo 3x^{2}\cdot 5=15x^{2}.

Passo 5

Juntando os termos obtidos:
3x^{5}-6x^{4}-12x^{3}+15x^{2}.
Não há termos semelhantes a combinar além destes. É comum ordenar polinômios em potências decrescentes de x, o que já está feito.

Resposta

3x^{5}-6x^{4}-12x^{3}+15x^{2}

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