Efetue os produtos dados:
x y^{2}(2 x+3 x y+4 y)

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver (efetuar) o produto
x y^{2}(2 x+3 x y+4 y).
Informação dada: o fator externo é \;x y^{2}\; e o parenteses tem três termos \;2x,\;3xy,\;4y\;. O objetivo é multiplicar \;x y^{2}\; por cada um desses termos e somar os resultados.

Passo 2

Regra que vamos usar (distributiva e multiplicação de monômios):
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Para multiplicar monômios (por exemplo \;x^{m}y^{n}\cdot x^{p}y^{q}\;) multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes das mesmas bases:
(x^{m}y^{n})(x^{p}y^{q})=(\text{coeficientes})\;x^{m+p}y^{n+q}.
Aqui o coeficiente de \;x y^{2}\; é 1.

Passo 3

Multiplicar \;x y^{2}\; pelo primeiro termo \;2x.
Coeficiente: 1\cdot 2=2.
Potências de x: x^{1}\cdot x^{1}=x^{1+1}=x^{2}.
Potências de y: y^{2} permanece (não há y em 2x).
Logo o produto é
2x^{2}y^{2}.

Passo 4

Multiplicar \;x y^{2}\; pelo segundo termo \;3xy.
Coeficiente: 1\cdot 3=3.
Potências de x: x^{1}\cdot x^{1}=x^{2}.
Potências de y: y^{2}\cdot y^{1}=y^{2+1}=y^{3}.
Logo o produto é
3x^{2}y^{3}.

Passo 5

Multiplicar \;x y^{2}\; pelo terceiro termo \;4y.
Coeficiente: 1\cdot 4=4.
Potências de x: fica x^{1} (pois não há x em 4y).
Potências de y: y^{2}\cdot y^{1}=y^{3}.
Logo o produto é
4x y^{3}.

Passo 6

Somar os três resultados obtidos:
2x^{2}y^{2}+3x^{2}y^{3}+4x y^{3}.
Verificação de termos semelhantes: termos semelhantes teriam os mesmos expoentes em x e y. Aqui não há termos que se combinem, portanto essa é a forma expandida final. (Opcional: fator comum x y^{2} retorna à forma original.)

Resposta

2x^{2}y^{2}+3x^{2}y^{3}+4x y^{3}

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