. (UFSC - SC ) A somas dos valores de x e y que satisfazem à equação matricial \left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}x & 2 \\\ y & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 3 & 9\end{array}\right)_{\text {é: }}é
a)1
b) 0
c) 2
d)-1
e) -2

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & 2 \\[4pt] y & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 3 & 9\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é a soma dos valores de x e y que satisfazem essa igualdade?
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}x & 2 \\[4pt] y & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 3 & 9\end{pmatrix},
e sabemos que A\cdot B = C.]

Passo 2

Vamos lembrar como multiplicar duas matrizes 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto A\cdot B é a matriz 2\times2 cujos elementos são dados por multiplicar linhas de A por colunas de B:
A\cdot B= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\[6pt] a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Explicando: cada entrada do produto é uma soma de dois produtos — por exemplo, o elemento na primeira linha e primeira coluna junta a primeira linha de A com a primeira coluna de B.]

Passo 3

Aplicando essa regra às matrizes do enunciado, calculamos A\cdot B. Usando
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}x & 2 \\[4pt] y & 1\end{pmatrix},
temos
A\cdot B= \begin{pmatrix} 1\cdot x + 3\cdot y & 1\cdot 2 + 3\cdot 1 \\[6pt] 2\cdot x + 5\cdot y & 2\cdot 2 + 5\cdot 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Simplificando as somas dentro da matriz obtida:
A\cdot B= \begin{pmatrix} x + 3y & 2 + 3 \\[6pt] 2x + 5y & 4 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 3y & 5 \\[4pt] 2x + 5y & 9 \end{pmatrix}.
Comparando com a matriz do lado direito do enunciado (peguei esses valores diretamente do enunciado),
\begin{pmatrix} x + 3y & 5 \\[4pt] 2x + 5y & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\[4pt] 3 & 9 \end{pmatrix},
obtemos o sistema de equações lineares para x e y:
\begin{cases} x + 3y = 2,\\[4pt] 2x + 5y = 3. \end{cases}]

Passo 5

Agora vamos resolver o sistema. Uma maneira rápida é eliminação: multiplicamos a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de x:
2(x + 3y) = 2\cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 6y = 4.
Subtraímos a segunda equação 2x + 5y = 3 dessa nova equação:
(2x + 6y) - (2x + 5y) = 4 - 3.
No lado esquerdo os 2x se cancelam, sobrando y; no direito fica 1. Logo
y = 1.

Passo 6

Com y=1, voltamos à primeira equação para achar x:
x + 3y = 2 \quad\Longrightarrow\quad x + 3\cdot 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 = 2.
Subtraindo 3 de ambos os lados,
x = 2 - 3 = -1.

Passo 7

Pedem a soma de x e y. Somando:
x + y = (-1) + 1 = 0.

Resposta

0

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