Efetue as seguintes as seguintes operações envolvendo matrizes sobre \mathbb{R} :
2\left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\\ 0 & 3 \\\ 2 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\\ 6 & -4 & 1 \\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão
2\left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\[4pt]0 & 3 \\[4pt]2 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\[4pt]1 & 0 & 0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\[4pt]6 & -4 & 1 \\[4pt]0 & 1 & 0\end{array}\right).
As matrizes fornecidas são (peguei-as do enunciado):
A=\begin{pmatrix}5 & 1 \\[4pt]0 & 3 \\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\[4pt]1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt]6 & -4 & 1 \\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
O que se pede é calcular 2(AB)+3C.]

Passo 2

Verificação de dimensões e compatibilidade (isso é importante antes de multiplicar):
  • A é 3\times2.
  • B é 2\times3.
  • Produto AB é possível porque as colunas de A (2) coincidem com as linhas de B (2); o resultado será uma matriz 3\times3.
  • C já é 3\times3, então poderemos somar 2(AB) com 3C (ambas 3\times3).

Passo 3

Regra de multiplicação de matrizes (explicação didática):
Se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p e a entrada (i,j) de XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Ou seja, para calcular uma entrada multiplica-se termo a termo a linha i de X pela coluna j de Y e soma-se os produtos.

Passo 4

Calcular AB aplicando a regra acima. Vou fazer linha por linha e coluna por coluna de forma explícita.
Linha 1 de A é (5,1).
  • Coluna 1 de B é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então
(AB)_{11}=5\cdot1+1\cdot1=5+1=6.
  • Coluna 2 de B é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}. Então
(AB)_{12}=5\cdot1+1\cdot0=5+0=5.
  • Coluna 3 de B é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}. Então
(AB)_{13}=5\cdot(-1)+1\cdot0=-5+0=-5.
Linha 2 de A é (0,3).
  • Coluna 1 de B: (AB)_{21}=0\cdot1+3\cdot1=0+3=3.
  • Coluna 2 de B: (AB)_{22}=0\cdot1+3\cdot0=0+0=0.
  • Coluna 3 de B: (AB)_{23}=0\cdot(-1)+3\cdot0=0+0=0.
Linha 3 de A é (2,0).
  • Coluna 1 de B: (AB)_{31}=2\cdot1+0\cdot1=2+0=2.
  • Coluna 2 de B: (AB)_{32}=2\cdot1+0\cdot0=2+0=2.
  • Coluna 3 de B: (AB)_{33}=2\cdot(-1)+0\cdot0=-2+0=-2.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}6 & 5 & -5 \\[4pt]3 & 0 & 0 \\[4pt]2 & 2 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora aplico a multiplicação escalar por 2:
2(AB)=\begin{pmatrix}2\cdot6 & 2\cdot5 & 2\cdot(-5) \\[4pt]2\cdot3 & 2\cdot0 & 2\cdot0 \\[4pt]2\cdot2 & 2\cdot2 & 2\cdot(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 10 & -10 \\[4pt]6 & 0 & 0 \\[4pt]4 & 4 & -4\end{pmatrix}.
(Lembrete: multiplicação escalar significa multiplicar cada entrada da matriz pelo escalar.)]

Passo 6

Multiplicação escalar por 3 da matriz C:
3C=\begin{pmatrix}3\cdot2 & 3\cdot2 & 3\cdot0 \\[4pt]3\cdot6 & 3\cdot(-4) & 3\cdot1 \\[4pt]3\cdot0 & 3\cdot1 & 3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 6 & 0 \\[4pt]18 & -12 & 3 \\[4pt]0 & 3 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Somar as duas matrizes 3\times3 obtidas, somando entrada a entrada:
2(AB)+3C= \begin{pmatrix}12 & 10 & -10 \\[4pt]6 & 0 & 0 \\[4pt]4 & 4 & -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 & 6 & 0 \\[4pt]18 & -12 & 3 \\[4pt]0 & 3 & 0\end{pmatrix}.
Fazendo as somas:
  • Linha 1: (12+6,\;10+6,\;-10+0)=(18,16,-10).
  • Linha 2: (6+18,\;0+(-12),\;0+3)=(24,-12,3).
  • Linha 3: (4+0,\;4+3,\;-4+0)=(4,7,-4).
Assim o resultado final é
\begin{pmatrix}18 & 16 & -10 \\[4pt]24 & -12 & 3 \\[4pt]4 & 7 & -4\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}18 & 16 & -10 \\[4pt]24 & -12 & 3 \\[4pt]4 & 7 & -4\end{pmatrix}]

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