Efetue:
\sqrt[3]{27^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \sqrt[3]{27^{2}}.
Informações dadas: o número 27 é um inteiro positivo; a operação é a raiz cúbica de 27 elevado ao quadrado.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicar o conceito): a raiz n-ésima pode ser escrita como potência de expoente 1/n. Ou seja, para qualquer número positivo a e inteiros m,n com n>0,
\sqrt[n]{a^{m}} = (a^{m})^{1/n} = a^{m/n}.
Aqui a representa a base (o número que estamos elevando), m é o expoente que foi aplicado antes de tirar a raiz, e n é o índice da raiz. Essa igualdade vem da propriedade das potências (a^p)^q = a^{pq}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\sqrt[3]{27^{2}} = (27^{2})^{1/3} = 27^{2/3}.
Também é válido reescrever como
27^{2/3} = \bigl(27^{1/3}\bigr)^{2},
pois 27^{2/3} = 27^{(1/3)\cdot 2} = (27^{1/3})^{2}.

Passo 4

Calcular \,27^{1/3}\, (a raiz cúbica de 27). Observe que 27 é potência de 3:
27 = 3^{3}.
Portanto,
27^{1/3} = (3^{3})^{1/3} = 3^{3\cdot(1/3)} = 3^{1} = 3.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado, como na expressão \bigl(27^{1/3}\bigr)^{2}:
\bigl(27^{1/3}\bigr)^{2} = 3^{2} = 9.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): 27^{2}=729 e \sqrt[3]{729}=9 porque 9^{3}=9\cdot9\cdot9=81\cdot9=729. Ambos os caminhos dão o mesmo resultado.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que ver \sqrt[n]{a^{m}}, pense em a^{m/n}. Se a base a for uma potência cuja expoente é múltiplo de n, dá para simplificar rapidamente. Exemplo rápido: \sqrt[4]{16^{3}}=16^{3/4}=(2^{4})^{3/4}=2^{3}=8.

Resposta

9

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