A eficiência f(p) de um catalisador em uma reação quimica ė função da pressão p (em atmosferas), modelada por f(p)=16 p-p^{2} para 0 \leq p \leq 12. A ‘sensibilidade’ da eficiência à pressão é a derivada f^{\prime}(p). Qual a pressão p para a qual a eficiência é máxima e qual a sensibilidade nesse ponto?
p=8 atm; sensibilidade = 64
p=12 atm; sensibilidade = -8
p=8 atm; sensibilidade = 0
p=4 atm; sensibilidade = 8
p=16 atm; sensibilidade = 0

Passo 1

O enunciado dá a eficiência do catalisador como
f(p)=16\,p - p^{2},\quad 0\le p\le12,
e define a “sensibilidade” como f'(p). Queremos achar o valor de p que maximiza f e calcular f'(p) nesse ponto. Para isso vamos usar cálculo de derivadas, análise de ponto crítico e comparação com os extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(p)=\frac{d}{dp}\bigl(16\,p - p^{2}\bigr)=16 - 2\,p.
O ponto crítico ocorre onde f'(p)=0, isto é,
16 - 2\,p = 0 \quad\Longrightarrow\quad p = 8.

Passo 3

Para confirmar que p=8 é máximo, avaliamos f em p=0, p=8 e p=12:
f(0)=0,\quad f(8)=16\cdot8 - 8^{2}=128 - 64=64,\quad f(12)=16\cdot12 - 12^{2}=192 - 144=48.
Como 64 é o maior valor, a eficiência máxima ocorre em p=8 atm.

Passo 4

A sensibilidade nesse ponto é
f'(8)=16 - 2\cdot8 =16 -16=0.

Resposta

p =8 atm; sensibilidade =0

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