(Efomm) Em uma turma de 50 alunos, 26 estão estudando Arquitetura Naval, 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão estudando Inglês, 9 estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não estão estudando essas três disciplinas. Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo?
a) 0
b) 4
c) 7
d) 9

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Total de alunos: 50.
  • Alunos que estudam Arquitetura Naval: |A|=26.
  • Alunos que estudam Inglês: |I|=19.
  • Alunos que estudam Cálculo: |C|=17.
  • Dos que estudam Arquitetura Naval, os que também estudam Inglês: |A\cap I|=6.
  • Dos que estudam Arquitetura Naval, os que também estudam Cálculo: |A\cap C|=7.
  • Dos que estudam Inglês, os que também estudam Cálculo: |I\cap C|=9.
  • Alunos que não estudam nenhuma dessas três disciplinas: 6.
O que o enunciado pergunta:
  • Quantos alunos estudam simultaneamente Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, ou seja, qual é |A\cap I\cap C|?

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (com calma e sem pular etapas).
Quando temos três conjuntos A, I e C, a fórmula de contagem por inclusão-exclusão diz que o número de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos é
|A\cup I\cup C| = |A| + |I| + |C| - |A\cap I| - |A\cap C| - |I\cap C| + |A\cap I\cap C|.
Vou explicar cada termo:
  • |A| + |I| + |C| soma quantos aparecem em cada conjunto, mas aí os que estão em duas ou três disciplinas foram contados mais de uma vez.
  • Subtrai-se |A\cap I|, |A\cap C|, |I\cap C| para remover as contagens duplicadas das interseções de duas em duas.
  • Mas quem está nas três disciplinas foi subtraído três vezes nas interseções de par, enquanto foi somado três vezes no começo; por isso é preciso acrescentar |A\cap I\cap C| uma última vez para ajustar corretamente.
Também sabemos que o número de alunos que estudam pelo menos uma das três disciplinas é o total menos os que não estudam nenhuma:
|A\cup I\cup C| = 50 - 6 = 44.

Passo 3

Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula de inclusão-exclusão.
Começando com a soma das três turmas:
|A| + |I| + |C| = 26 + 19 + 17 = 62.
A soma das interseções de pares (fornecidas) é
|A\cap I| + |A\cap C| + |I\cap C| = 6 + 7 + 9 = 22.
Substituindo na fórmula:
|A\cup I\cup C| = 62 - 22 + |A\cap I\cap C|.

Passo 4

Como vimos no Passo 2, |A\cup I\cup C| = 44. Então igualamos:
44 = 62 - 22 + |A\cap I\cap C|.
Calcule 62-22:
62 - 22 = 40.
Portanto
44 = 40 + |A\cap I\cap C|.

Passo 5

Isolando |A\cap I\cap C|:
|A\cap I\cap C| = 44 - 40 = 4.
Vamos fazer uma checagem rápida para garantir que esse valor faz sentido (isto é útil na prova para ganhar segurança). Se x=|A\cap I\cap C|=4, então:
  • Alunos que estão em exatamente A\cap I (mas não em C) são 6 - x = 2.
  • Alunos em exatamente A\cap C (mas não em I) são 7 - x = 3.
  • Alunos em exatamente I\cap C (mas não em A) são 9 - x = 5.
  • Alunos apenas em A são 26 - (6 - x) - (7 - x) - x = 17.
  • Alunos apenas em I são 19 - (6 - x) - (9 - x) - x = 8.
  • Alunos apenas em C são 17 - (7 - x) - (9 - x) - x = 5.
Somando todas as regiões (apenas A, apenas I, apenas C, as três duplas sem a tripla, e a tripla) obtemos
17 + 8 + 5 + 2 + 3 + 5 + 4 = 44,
que é justamente o número de alunos que estudam pelo menos uma disciplina. Então x=4 é consistente e todas as partes ficam não-negativas.

Resposta

b) 4

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