(Efomm) Em uma turma de 50 alunos, 26 estão estudando Arquitetura Naval, 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão estudando Inglês, 9 estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não estão estudando essas três disciplinas. Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo?
a) 0
b) 4
c) 7
d) 9
a) 0
b) 4
c) 7
d) 9
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Total de alunos:
. - Alunos que estudam Arquitetura Naval:
. - Alunos que estudam Inglês:
. - Alunos que estudam Cálculo:
. - Dos que estudam Arquitetura Naval, os que também estudam Inglês:
. - Dos que estudam Arquitetura Naval, os que também estudam Cálculo:
. - Dos que estudam Inglês, os que também estudam Cálculo:
. - Alunos que não estudam nenhuma dessas três disciplinas:
.
O que o enunciado pergunta:
- Quantos alunos estudam simultaneamente Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, ou seja, qual é
?
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (com calma e sem pular etapas).
Quando temos três conjuntos
,
e
, a fórmula de contagem por inclusão-exclusão diz que o número de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos é
Vou explicar cada termo:
-
soma quantos aparecem em cada conjunto, mas aí os que estão em duas ou três disciplinas foram contados mais de uma vez. - Subtrai-se
para remover as contagens duplicadas das interseções de duas em duas. - Mas quem está nas três disciplinas foi subtraído três vezes nas interseções de par, enquanto foi somado três vezes no começo; por isso é preciso acrescentar
uma última vez para ajustar corretamente.
Também sabemos que o número de alunos que estudam pelo menos uma das três disciplinas é o total menos os que não estudam nenhuma:
Passo 3
Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula de inclusão-exclusão.
Começando com a soma das três turmas:
A soma das interseções de pares (fornecidas) é
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Como vimos no Passo 2,
. Então igualamos:
Calcule
:
Portanto
Passo 5
Isolando
:
Vamos fazer uma checagem rápida para garantir que esse valor faz sentido (isto é útil na prova para ganhar segurança). Se
, então:
- Alunos que estão em exatamente
(mas não em ) são . - Alunos em exatamente
(mas não em ) são . - Alunos em exatamente
(mas não em ) são . - Alunos apenas em
são . - Alunos apenas em
são . - Alunos apenas em
são .
Somando todas as regiões (apenas A, apenas I, apenas C, as três duplas sem a tripla, e a tripla) obtemos
que é justamente o número de alunos que estudam pelo menos uma disciplina. Então
é consistente e todas as partes ficam não-negativas.
Resposta
b)