(G1 - epcar (Cpcar)) Com a finalidade de conhecer a preferência de seus clientes por chocolates, a equipe de marketing de vendas de um shopping fez uma pesquisa com 792 pessoas, as quais foram questionadas sobre:
Qual tipo de chocolate você mais gosta: ao leite, com passas ou crocante?
De posse das informações coletadas, elaborou-se o seguinte quadro:
Qual tipo de chocolate você mais gosta?
Tipo de Chocolate
Ao leite
Com passas
Crocante
Ao leite e com passas
Ao leite e crocante
Crocante e com passas
Crocante, ao leite e com passas
Quantidade de Pessoas
411
358
299
156
109
131
72
Daquelas pessoas que responderam não gostar de nenhum dos três tipos de chocolates da pesquisa, x não gostam de chocolate algum e o dobro de x gostam de chocolate, mas não desses tipos apresentados na pesquisa.
A razão entre o número de pessoas que gostam dos três tipos de chocolates apresentados na pesquisa e x, nessa ordem, é um número
a) maior que 3 e menor que 5
b) maior que 5 e menor que 7
c) maior que 7 e menor que 9
Qual tipo de chocolate você mais gosta: ao leite, com passas ou crocante?
De posse das informações coletadas, elaborou-se o seguinte quadro:
| Qual tipo de chocolate você mais gosta? | |||||||
| Tipo de Chocolate | Ao leite | Com passas | Crocante | Ao leite e com passas | Ao leite e crocante | Crocante e com passas | Crocante, ao leite e com passas |
| Quantidade de Pessoas | 411 | 358 | 299 | 156 | 109 | 131 | 72 |
A razão entre o número de pessoas que gostam dos três tipos de chocolates apresentados na pesquisa e x, nessa ordem, é um número
a) maior que 3 e menor que 5
b) maior que 5 e menor que 7
c) maior que 7 e menor que 9
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Total de pessoas entrevistadas:
. - Número de pessoas que gostam de cada tipo isoladamente:
- Ao leite:
. - Com passas:
. - Crocante:
.
- Ao leite:
- Números das interseções de dois tipos:
- Ao leite e com passas:
. - Ao leite e crocante:
. - Crocante e com passas:
.
- Ao leite e com passas:
- Número das três ao mesmo tempo (interseção tripla):
. - Das pessoas que responderam não gostar de nenhum dos três, foi dito que:
-
não gostam de chocolate algum; - o dobro de
, isto é , gostam de chocolate, mas não desses tipos apresentados. - Portanto, o total que disse “nenhum dos três” é
.
-
O enunciado pede: determinar a razão (na ordem indicada) entre o número de pessoas que gostam dos três tipos apresentados (isto é a interseção tripla) e
, e identificar em qual das alternativas a), b) ou c) essa razão se encaixa.
Passo 2
Explicação didática da ferramenta que vamos usar: o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.
Se
,
,
são os conjuntos de pessoas que gostam, respectivamente, de “ao leite”, “com passas” e “crocante”, então o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos três é dado por:
O motivo dessa fórmula (explicando sem jargão): ao somar
estamos contando células sobrepostas mais de uma vez; subtrai-se as interseções de dois para corrigir dupla contagem, mas aí a interseção dos três foi subtraída três vezes e adicionada três vezes na soma inicial, por isso precisamos somar de volta
. É o jeito padrão para evitar contar pessoas repetidas.
Passo 3
Calcular a soma das contagens simples e das interseções que aparecem na fórmula (peguei todos esses números do quadro do enunciado).
Somando os gostos individuais:
Somando as interseções de pares:
A interseção tripla é
Passo 4
Aplicar a fórmula da inclusão-exclusão para obter o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos três tipos:
Fazendo as contas:
Portanto
. Isso significa que
pessoas gostam de pelo menos um dos três tipos pesquisados.
Passo 5
Calcular quantas pessoas disseram não gostar de nenhum dos três.
Como o total entrevistado é
, o número que não gosta de nenhum dos três é
Mas o enunciado diz que esse total de “nenhum dos três” é
. Logo:
Resolvendo para
:
Passo 6
Calcular a razão pedida: número que gostam dos três tipos (interseção tripla) dividido por
.
A interseção tripla é
(dado) e
, então a razão é
Passo 7
Interpretar o valor
com relação às opções dadas:
- A opção (a) diz "maior que
e menor que ". Verificar: é verdadeiro. - A opção (b) diz "maior que
e menor que ". Não é o caso. - A opção (c) diz "maior que
e menor que ". Também não é o caso.
Portanto a alternativa correta é a opção (a).
Resposta
a) maior que 3 e menor que 5