(G1 - epcar (Cpcar)) Com a finalidade de conhecer a preferência de seus clientes por chocolates, a equipe de marketing de vendas de um shopping fez uma pesquisa com 792 pessoas, as quais foram questionadas sobre:
Qual tipo de chocolate você mais gosta: ao leite, com passas ou crocante?
De posse das informações coletadas, elaborou-se o seguinte quadro:
Qual tipo de chocolate você mais gosta?
Tipo de Chocolate Ao leite Com passas Crocante Ao leite e com passas Ao leite e crocante Crocante e com passas Crocante, ao leite e com passas
Quantidade de Pessoas 411 358 299 156 109 131 72
Daquelas pessoas que responderam não gostar de nenhum dos três tipos de chocolates da pesquisa, x não gostam de chocolate algum e o dobro de x gostam de chocolate, mas não desses tipos apresentados na pesquisa.
A razão entre o número de pessoas que gostam dos três tipos de chocolates apresentados na pesquisa e x, nessa ordem, é um número
a) maior que 3 e menor que 5
b) maior que 5 e menor que 7
c) maior que 7 e menor que 9

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Total de pessoas entrevistadas: 792.
  • Número de pessoas que gostam de cada tipo isoladamente:
    • Ao leite: 411.
    • Com passas: 358.
    • Crocante: 299.
  • Números das interseções de dois tipos:
    • Ao leite e com passas: 156.
    • Ao leite e crocante: 109.
    • Crocante e com passas: 131.
  • Número das três ao mesmo tempo (interseção tripla): 72.
  • Das pessoas que responderam não gostar de nenhum dos três, foi dito que:
    • x não gostam de chocolate algum;
    • o dobro de x, isto é 2x, gostam de chocolate, mas não desses tipos apresentados.
    • Portanto, o total que disse “nenhum dos três” é x+2x=3x.
O enunciado pede: determinar a razão (na ordem indicada) entre o número de pessoas que gostam dos três tipos apresentados (isto é a interseção tripla) e x, e identificar em qual das alternativas a), b) ou c) essa razão se encaixa.

Passo 2

Explicação didática da ferramenta que vamos usar: o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.
Se A, B, C são os conjuntos de pessoas que gostam, respectivamente, de “ao leite”, “com passas” e “crocante”, então o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos três é dado por:
\lvert A\cup B\cup C\rvert=\lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert-\bigl(\lvert A\cap B\rvert+\lvert A\cap C\rvert+\lvert B\cap C\rvert\bigr)+\lvert A\cap B\cap C\rvert.
O motivo dessa fórmula (explicando sem jargão): ao somar \lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert estamos contando células sobrepostas mais de uma vez; subtrai-se as interseções de dois para corrigir dupla contagem, mas aí a interseção dos três foi subtraída três vezes e adicionada três vezes na soma inicial, por isso precisamos somar de volta \lvert A\cap B\cap C\rvert. É o jeito padrão para evitar contar pessoas repetidas.

Passo 3

Calcular a soma das contagens simples e das interseções que aparecem na fórmula (peguei todos esses números do quadro do enunciado).
Somando os gostos individuais:
\lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert = 411 + 358 + 299 = 1068.
Somando as interseções de pares:
\lvert A\cap B\rvert+\lvert A\cap C\rvert+\lvert B\cap C\rvert = 156 + 109 + 131 = 396.
A interseção tripla é
\lvert A\cap B\cap C\rvert = 72.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inclusão-exclusão para obter o número de pessoas que gostam de pelo menos um dos três tipos:
\lvert A\cup B\cup C\rvert = 1068 - 396 + 72.
Fazendo as contas:
1068 - 396 = 672, \qquad 672 + 72 = 744.
Portanto \lvert A\cup B\cup C\rvert = 744. Isso significa que 744 pessoas gostam de pelo menos um dos três tipos pesquisados.

Passo 5

Calcular quantas pessoas disseram não gostar de nenhum dos três.
Como o total entrevistado é 792, o número que não gosta de nenhum dos três é
792 - 744 = 48.
Mas o enunciado diz que esse total de “nenhum dos três” é 3x. Logo:
3x = 48.
Resolvendo para x:
x = \frac{48}{3} = 16.

Passo 6

Calcular a razão pedida: número que gostam dos três tipos (interseção tripla) dividido por x.
A interseção tripla é 72 (dado) e x=16, então a razão é
\frac{72}{16}=\frac{9}{2}=4{,}5.

Passo 7

Interpretar o valor 4{,}5 com relação às opções dadas:
  • A opção (a) diz "maior que 3 e menor que 5". Verificar: 3<4{,}5<5 é verdadeiro.
  • A opção (b) diz "maior que 5 e menor que 7". Não é o caso.
  • A opção (c) diz "maior que 7 e menor que 9". Também não é o caso.
Portanto a alternativa correta é a opção (a).

Resposta

a) maior que 3 e menor que 5

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