O eixo tubular de transmissão para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? Considere τadm = 90 MPa e G = 75 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o diâmetro interno de um eixo tubular que transmite potência para uma hélice de um aerodeslizador e também calcular o ângulo de torção desse eixo quando ele está em operação. Para isso, vamos usar conceitos de torsão de eixos circulares e transmissão de potência. Vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, torque máximo admissível, e o ângulo de torção com base nas propriedades do material e nas dimensões do eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o torque que está sendo transmitido ao eixo. A potência § transmitida está relacionada ao torque (T) e à velocidade angular (ω) pela fórmula:
P = T cdot omega
Queremos encontrar o torque, então vamos rearranjar a fórmula:
T = Pomega
Substituindo os valores dados:
P = 4, MW = 4 times 10^6, W
omega = 25, rad/s
Então:
T = 4 times 10^625 = 160,000, N·m

Passo 3

Agora que sabemos o torque, vamos encontrar o diâmetro interno do eixo. Para um eixo tubular, a tensão de cisalhamento (τ) está relacionada ao torque (T) e ao momento polar de inércia (J) pela fórmula:
T = tau cdot Jrext
Mas como temos um eixo tubular, o momento polar de inércia é:
J = pi2 ( rext^4 - rint^4 )
Nosso objetivo é encontrar $ r_{int} $. Sabemos que a tensão admissível é $ \tau_{adm} = 90, MPa $ e o diâmetro externo $ d_{ext} = 250, mm $, então o raio externo é:
rint

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula do torque para resolver $ r_{int} $:
rint
Simplificando:
T = tau cdot pi2 ( rext^4 - rint^4 ) cdot 1rext
Vamos isolar $ r_{int}^4 $:
T = pi tau2 rext ( rext^4 - rint^4 )
Substituindo os valores:
rint^4
rext^4 - 2 T rextpi tau = rint^4
rext = 0,125, m
Calculando:
T = 160,000, N·m
tau = 90, MPa = 90 times 10^6, Pa
Então:
rext^4 = (0,125)^4 = 0,000244140625, m^4
Agora, tiramos a raiz quarta para achar $ r_{int} $:
2 T rextpi tau = 2 times 160,000 times 0,125pi times 90 times 10^6 approx 40,000282,743 approx 0,1414 times 10^-3, m^4
Então, o diâmetro interno é:
rint^4 = 0,000244140625 - 0,0001414 approx 0,0001027, m^4

Passo 5

Agora vamos calcular o ângulo de torção ($ \phi $) do eixo quando está em operação. A fórmula para o ângulo de torção é:
phi
Onde:
  • $ T $ é o torque
  • $ L $ é o comprimento do eixo
  • $ G $ é o módulo de corte
  • $ J $ é o momento polar de inércia
Já sabemos $ T = 160,000, N·m $, $ L = 6, m $, $ G = 75, GPa = 75 \times 10^9, Pa $, e calculamos $ J $ anteriormente:
phi = T cdot LG cdot J
Substituindo na fórmula:
T
Convertendo para graus (já que é mais intuitivo):
L

Resposta

O diâmetro interno exigido para o eixo é de 112 mm e o ângulo de torção do eixo quando está em operação é de aproximadamente 4,56 graus.

Exercícios relacionados