O eixo tubular de transmissão para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? Considere τadm = 90 MPa e G = 75 GPa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o diâmetro interno de um eixo tubular que transmite potência para uma hélice de um aerodeslizador e também calcular o ângulo de torção desse eixo quando ele está em operação. Para isso, vamos usar conceitos de torsão de eixos circulares e transmissão de potência. Vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, torque máximo admissível, e o ângulo de torção com base nas propriedades do material e nas dimensões do eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o torque que está sendo transmitido ao eixo. A potência § transmitida está relacionada ao torque (T) e à velocidade angular (ω) pela fórmula:
Queremos encontrar o torque, então vamos rearranjar a fórmula:
Substituindo os valores dados:
Então:
Passo 3
Agora que sabemos o torque, vamos encontrar o diâmetro interno do eixo. Para um eixo tubular, a tensão de cisalhamento (τ) está relacionada ao torque (T) e ao momento polar de inércia (J) pela fórmula:
Mas como temos um eixo tubular, o momento polar de inércia é:
Nosso objetivo é encontrar $ r_{int} $. Sabemos que a tensão admissível é $ \tau_{adm} = 90, MPa $ e o diâmetro externo $ d_{ext} = 250, mm $, então o raio externo é:
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula do torque para resolver $ r_{int} $:
Simplificando:
Vamos isolar $ r_{int}^4 $:
Substituindo os valores:
Calculando:
Então:
Agora, tiramos a raiz quarta para achar $ r_{int} $:
Então, o diâmetro interno é:
Passo 5
Agora vamos calcular o ângulo de torção ($ \phi $) do eixo quando está em operação. A fórmula para o ângulo de torção é:
Onde:
- $ T $ é o torque
- $ L $ é o comprimento do eixo
- $ G $ é o módulo de corte
- $ J $ é o momento polar de inércia
Já sabemos $ T = 160,000, N·m $, $ L = 6, m $, $ G = 75, GPa = 75 \times 10^9, Pa $, e calculamos $ J $ anteriormente:
Substituindo na fórmula:
Convertendo para graus (já que é mais intuitivo):
Resposta
O diâmetro interno exigido para o eixo é de 112 mm e o ângulo de torção do eixo quando está em operação é de aproximadamente 4,56 graus.