4 { }^{\text {a }} Questão: Uma barcaça tem 4, \mathrm{X} metros de largura e 12, \mathrm{X} metros de comprimento, e flutua com um calado de 1, \mathrm{X} metros. Ela recebe uma carga de cascalho tal que seu centro de gravidade está 0,6 metros acima da linha d’água. Qual a situação de equilíbrio dessa barcaça?

Passo 1

O enunciado descreve uma barcaça de largura \,4X e comprimento \,12X que flutua com calado \,1X. Após carregar cascalho, o seu centro de gravidade fica a 0{,}6 m acima da linha d’água. Pergunta-se se ela estará em equilíbrio estável, neutro ou instável. Para isso, vamos usar o critério do metacentro:
G M = B M - B G,
onde B é o centro de empuxo (centro de buoyancy), M é o metacentro e G o centro de gravidade. Se G M>0 a posição é estável, se G M=0 é neutra e se G M<0 é instável.

Passo 2

Calculemos o segundo momento de área da linha d’água em torno do eixo longitudinal. A linha d’água é um retângulo de largura b=4X e comprimento L=12X. O momento de inércia em relação ao eixo que percorre o meio do comprimento (rolamento) é
I = \frac{b^3\,L}{12} = \frac{(4X)^3\,(12X)}{12} = \frac{64X^3\cdot12X}{12} =64X^4.

Passo 3

O volume submerso V é a área da linha d’água vezes o calado:
V = (4X\cdot12X)\,(1X)=48X^3.
Logo, a distância B M (distância do centro de empuxo ao metacentro) vale
B M=\frac{I}{V}=\frac{64X^4}{48X^3}=\frac{4}{3}\,X\approx1{,}333\,X.

Passo 4

O centro de empuxo B de um paralelepípedo está na metade do calado, ou seja, a 0{,}5X m abaixo da linha d’água. Como o centro de gravidade G fica 0{,}6 m acima da linha d’água, a distância B G é
B G =0{,}5X +0{,}6.

Passo 5

Agora calculamos
G M = B M - B G =\frac{4}{3}\,X -\bigl(0{,}5X+0{,}6\bigr) =\bigl(1{,}333-0{,}5\bigr)X -0{,}6 =0{,}833X-0{,}6.
Para estabilidade precisamos de G M>0, ou seja
0{,}833X-0{,}6>0 \quad\Longrightarrow\quad X> \frac{0{,}6}{0{,}833}\approx0{,}72.
Se X=0{,}72 fica neutra ( G M=0). Para X<0{,}72 a barcaça fica instável ( G M<0).

Resposta

A barcaça estará em equilíbrio estável se X>0{,}72 m, neutro se X=0{,}72 m e instável se X<0{,}72 m.

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