Um electrão (carga -e ) está colocado num ponto A, no campo de um dipolo de cargas +q e -q, distanciadas de a=10 AA.
Qual será o trabalho realizado pelas forças externas se o electrão fizer uma volta circular de raio R=20 AA, partindo do ponto A e voltando ao mesmo ponto? Considerando as linhas de campo de um dipolo, indique onde o trabalho é positivo e onde é negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem um elétron (carga –e) girando numa volta completa de raio V(theta)=14pivarepsilon0,pcosthetaR^2, U(theta)=q,V(theta) ,Å ao redor de um dipolo formado por duas cargas e separadas por ,Å. A pergunta principal é: qual o trabalho realizado pelas forças externas quando o elétron sai de um ponto , dá uma volta e volta em ? E, de quebra, em que parte desse caminho esse trabalho é positivo e onde é negativo?
Conteúdo envolvido:
  • Campo elétrico de um dipolo é conservativo.
  • Trabalho em campo conservativo (ciclo fechado) é zero.
  • Potencial de um dipolo e energia potencial de uma carga nesse potencial.
  • Relação entre variação de energia potencial e trabalho das forças externas .
O que vamos precisar:
  1. Saber que em campo conservativo num ciclo fechado é zero.
  2. Entender a energia potencial de uma carga no potencial de dipolo:
  3. Ligar o sinal de com o sinal de localmente.

Passo 2

Primeiro lembre: num campo elétrico estático (conservativo) o trabalho total de qualquer força externa que leve a partícula em volta completa e a faça voltar ao ponto inicial satisfaz
Wrm ext,;ciclo = -De
porque a energia potencial volta ao valor inicial ( ). Então, sem nem fazer conta complicada, o trabalho total em toda a volta é zero.

Passo 3

Mas para saber onde o trabalho é positivo ou negativo, a gente precisa ver como ­ V(theta)=14pivarepsilon0;pcosthetaR^2 varia ao longo do caminho.
  1. O potencial elétrico de um dipolo numa distância U(theta)=q,V(theta) = -e;14pivarepsilon0;pcosthetaR^2 = -e,p4pivarepsilon0,R^2,costheta , fazendo um ângulo dU = dUdtheta,dtheta = e,p4pivarepsilon0,R^2,sintheta;dtheta entre o vetor posição dWrm ext = dU e o momento de dipolo , é
  2. Como o elétron tem carga , sua energia potencial vale
  3. Se o elétron se desloca aumentando , a variação infinitesimal de energia é
  4. E, por definição, o trabalho da força externa num pedacinho de curva é

Passo 4

Olha só o sinal de :
  • Quando (isto é, entre e ), . Isso significa que, nessa metade da volta, a gente “empurra” o elétron contra a atração do dipolo (ele ganha energia potencial).
  • Quando ( entre e ), . Aí o campo ajuda a mover o elétron (ele perde energia potencial), então o trabalho externo é negativo (a gente “freia” ele).
Geometricamente:
  • No semi-círculo que passa mais próximo da carga (lado onde vai de a ), trabalho externo é positivo.
  • No semi-círculo do lado da carga ( a ), trabalho externo é negativo.

Resposta

Trabalho total das forças externas na volta completa:
Wrm ext = 0
Trabalho é positivo no arco mais próximo da carga (de a ) e negativo no arco mais próximo da carga (de a ).

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