Um elemento infinitesimal de uma estrutura foi submetido ao carregamento indicado. Sabendo que as tensões máximas suportadas pela peça são: \sigma_{\mathrm{adm}}=280 \mathrm{MPa} ; \tau_{\mathrm{adm}}= 250 MPa . Determine: (8 pontos)
a) As tensōes principais
b) A tensão cisalhante máxima
c) Determine o fator de segurança para cada uma das tensōes
d) Desenhe o círculo de Mohr do elemento

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) as tensões principais;
  • (b) a tensão cisalhante máxima;
  • (c) o fator de segurança para cada uma das tensões (normal e cisalhante);
  • (d) desenhar o círculo de Mohr do elemento.
Informações que o enunciado fornece:
  • \sigma_{\mathrm{adm}}=280\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{\mathrm{adm}}=250\\ \mathrm{MPa}
Informações que faltam (necessárias para calcular os valores numéricos): os componentes de tensão do elemento plano sobre os eixos da peça, isto é, é preciso conhecer
  • \sigma_x (tensão normal na face vertical do elemento),
  • \sigma_y (tensão normal na face horizontal do elemento),
  • \tau_{xy} (tensão cisalhante na face, com a convenção usual de sinais).
O enunciado menciona “carregamento indicado” e aparentemente depende de uma figura que não foi enviada. Sem os valores numéricos de \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} extraídos dessa figura não é possível fornecer respostas numéricas específicas. Portanto eu não vou inventar números — vou explicar passo a passo como obter cada item a partir de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} e dar as fórmulas finais simbólicas que você deverá aplicar aos números do seu enunciado.

Passo 2

Conceitos básicos e convenções (aula rápida e prática).
  • Um elemento plano (2D) está caracterizado por três componentes de tensão no sistema cartesiano: \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}.
    • \sigma_x e \sigma_y são tensões normais (positivas em tração).
    • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento; usualmente \tau_{yx}=\tau_{xy} para equilíbrio.
  • Objetivo: encontrar as direções em que a tensão de cisalhamento é zero — essas são as direções dos eixos principais — e os correspondentes valores de tensão normal, que são as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.
  • Ferramenta prática: fórmulas fechadas e o círculo de Mohr (representação geométrica).
Vou agora apresentar as fórmulas explicando cada termo.

Passo 3

Fórmulas fundamentais (derive mentalmente ou use direto — são padrão em Mecânica dos Materiais):
  1. média das tensões normais (centro do círculo de Mohr)
\bar{\sigma} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
Explicação: é o ponto médio entre os dois valores normais \sigma_x e \sigma_y.
  1. raio do círculo de Mohr (módulo da componente que combina diferença de normais e cisalhamento)
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
Explicação: \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right) mede a “assimetria” entre as normais; \tau_{xy} aparece porque o cisalhamento também “abre” o círculo. A raiz traz a combinação geométrica.
  1. tensões principais (valores máximos e mínimos de tensão normal)
\sigma_{1,2} = \bar{\sigma} \pm R.
Significado: \sigma_1 = \bar{\sigma}+R é a maior tensão normal (principal máxima) e \sigma_2 = \bar{\sigma}-R é a menor (principal mínima).
  1. tensão cisalhante máxima no elemento plano (valor absoluto)
\tau_{\max} = R.
Ou equivalentemente
\tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Explicação: o máximo cisalhamento é o raio do círculo de Mohr; ocorre em planos a 45° (no elemento físico) a partir dos planos principais.
  1. ângulo do eixo principal (orientação) em relação ao eixo x:
\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Importante: essa fórmula dá 2\theta_p; para obter \theta_p você toma metade do argumento (cuidado com quadrantes usando função arco-tangente com atenção no sinal de numerador e denominador).

Passo 4

Como calcular passo-a-passo (procedimento prático que você fará na prova):
  1. Leia da figura os valores \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}. Coloque sinais conforme a convenção (tração positiva).
  2. Calcule \bar{\sigma}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  3. Calcule R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  4. Calcule \sigma_1=\bar{\sigma}+R e \sigma_2=\bar{\sigma}-R.
  5. Calcule \tau_{\max}=R (valor positivo; o sinal depende do plano).
  6. Determine os fatores de segurança:
    • Para cada tensão normal principal use
    n_{\sigma_i}=\frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{\lvert\sigma_i\rvert},\quad i=1,2,explicando: toma-se valor absoluto porque se você tem compressão (negativa) e o limite admissível refere-se ao módulo que a peça suporta. Se o material tiver resistência distinta à tração e compressão, use os limites apropriados (aqui o enunciado deu apenas \sigma_{\mathrm{adm}}).
    • Para cisalhamento:
    n_{\tau}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}}{\tau_{\max}}.Interpretação: n>1 significa que a tensão solicitante é menor que a admissível (situação teoricamente segura).

Passo 5

Como desenhar o círculo de Mohr (passo a passo prático, faça no rascunho da prova):
  1. Eixos do gráfico: eixo horizontal representando tensão normal \sigma e eixo vertical representando cisalhamento \tau.
  2. Plote o ponto A=(\sigma_x,\\ \tau_{xy}).
  3. Plote o ponto B=(\sigma_y,\\\ -\tau_{xy}). Esses dois pontos são extremos do diâmetro do círculo de Mohr.
  4. Centro do círculo: C=(\bar{\sigma},\\\ 0) com \bar{\sigma}=(\sigma_x+\sigma_y)/2.
  5. Raio: R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  6. Desenhe o círculo de raio R centrado em C.
  7. As interseções do círculo com o eixo \sigma dão \sigma_1 e \sigma_2 (pontos \bar{\sigma}\pm R). O ponto mais alto do círculo (coord. \bar{\sigma},\;+\!R) corresponde à \tau_{\max}.
  8. Para encontrar o ângulo físico \theta_p entre o eixo x e o eixo principal, use a relação \tan(2\theta_p)=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}. No círculo de Mohr, o ângulo central correspondente entre o raio que vai a A e o raio que vai a um ponto principal é 2\theta.

Passo 6

Observações práticas e dicas de prova (amigável e motivador):
  • Sempre verifique sinais. Um erro comum é tomar \tau_{xy} com sinal errado; isso muda a orientação \theta_p mas não os valores absolutos de \sigma_1,\sigma_2,\tau_{\max}.
  • Se a figura do enunciado der tensões distribuídas ou resultantes, transforme-as em componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} antes de aplicar as fórmulas.
  • Se precisar de arredondamento, mantenha 2 ou 3 algarismos significativos e seja consistente.
  • Se o enunciado perguntar por fator de segurança com respeito a combinação tensão normal + cisalhamento (critério de von Mises, Tresca, etc.), aí faz-se outro cálculo — aqui você pediu fator para cada tensão individual, então usamos as fórmulas acima.

Passo 7

Resumindo em “fórmulas prontas” para aplicar imediatamente quando tiver \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}:
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}
\sigma_1=\bar{\sigma}+R,\qquad \sigma_2=\bar{\sigma}-R
\tau_{\max}=R
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}
n_{\sigma_1}=\frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{\lvert\sigma_1\rvert},\quad n_{\sigma_2}=\frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{\lvert\sigma_2\rvert},\quad n_{\tau}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}}{\tau_{\max}}

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos porque a figura com o carregamento (ou seja, os valores de \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \tau_{xy}) não foi enviada.
(a) \displaystyle \sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
(b) \displaystyle \tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
(c) \displaystyle n_{\sigma_1}=\frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{\lvert\sigma_1\rvert},\quad n_{\sigma_2}=\frac{\sigma_{\mathrm{adm}}}{\lvert\sigma_2\rvert},\quad n_{\tau}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}}{\tau_{\max}}.
(d) Círculo de Mohr: centro C=\bigl(\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\bigr), raio R=\tau_{\max}; pontos do diâmetro são A=(\sigma_x,\tau_{xy}) e B=(\sigma_y,-\tau_{xy}).

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