Um elemento infinitesimal de uma estrutura foi submetido ao carregamento indicado. Sabendo que as tensões máximas suportadas pela peça são:
250 MPa . Determine: (8 pontos)
a) As tensōes principais
b) A tensão cisalhante máxima
c) Determine o fator de segurança para cada uma das tensōes
d) Desenhe o círculo de Mohr do elemento
a) As tensōes principais
b) A tensão cisalhante máxima
c) Determine o fator de segurança para cada uma das tensōes
d) Desenhe o círculo de Mohr do elemento
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) as tensões principais;
- (b) a tensão cisalhante máxima;
- (c) o fator de segurança para cada uma das tensões (normal e cisalhante);
- (d) desenhar o círculo de Mohr do elemento.
Informações que o enunciado fornece:
Informações que faltam (necessárias para calcular os valores numéricos): os componentes de tensão do elemento plano sobre os eixos da peça, isto é, é preciso conhecer
-
(tensão normal na face vertical do elemento), -
(tensão normal na face horizontal do elemento), -
(tensão cisalhante na face, com a convenção usual de sinais).
O enunciado menciona “carregamento indicado” e aparentemente depende de uma figura que não foi enviada. Sem os valores numéricos de
,
e
extraídos dessa figura não é possível fornecer respostas numéricas específicas. Portanto eu não vou inventar números — vou explicar passo a passo como obter cada item a partir de
e dar as fórmulas finais simbólicas que você deverá aplicar aos números do seu enunciado.
Passo 2
Conceitos básicos e convenções (aula rápida e prática).
- Um elemento plano (2D) está caracterizado por três componentes de tensão no sistema cartesiano:
, e . -
e são tensões normais (positivas em tração). -
é a tensão de cisalhamento; usualmente para equilíbrio.
-
- Objetivo: encontrar as direções em que a tensão de cisalhamento é zero — essas são as direções dos eixos principais — e os correspondentes valores de tensão normal, que são as tensões principais
e . - Ferramenta prática: fórmulas fechadas e o círculo de Mohr (representação geométrica).
Vou agora apresentar as fórmulas explicando cada termo.
Passo 3
Fórmulas fundamentais (derive mentalmente ou use direto — são padrão em Mecânica dos Materiais):
- média das tensões normais (centro do círculo de Mohr)
Explicação: é o ponto médio entre os dois valores normais
e
.
- raio do círculo de Mohr (módulo da componente que combina diferença de normais e cisalhamento)
Explicação:
mede a “assimetria” entre as normais;
aparece porque o cisalhamento também “abre” o círculo. A raiz traz a combinação geométrica.
- tensões principais (valores máximos e mínimos de tensão normal)
Significado:
é a maior tensão normal (principal máxima) e
é a menor (principal mínima).
- tensão cisalhante máxima no elemento plano (valor absoluto)
Ou equivalentemente
Explicação: o máximo cisalhamento é o raio do círculo de Mohr; ocorre em planos a 45° (no elemento físico) a partir dos planos principais.
- ângulo do eixo principal (orientação) em relação ao eixo
:
Importante: essa fórmula dá
; para obter
você toma metade do argumento (cuidado com quadrantes usando função arco-tangente com atenção no sinal de numerador e denominador).
Passo 4
Como calcular passo-a-passo (procedimento prático que você fará na prova):
- Leia da figura os valores
, e . Coloque sinais conforme a convenção (tração positiva). - Calcule
. - Calcule
. - Calcule
e . - Calcule
(valor positivo; o sinal depende do plano). - Determine os fatores de segurança:
- Para cada tensão normal principal use
explicando: toma-se valor absoluto porque se você tem compressão (negativa) e o limite admissível refere-se ao módulo que a peça suporta. Se o material tiver resistência distinta à tração e compressão, use os limites apropriados (aqui o enunciado deu apenas ). - Para cisalhamento:
Interpretação: significa que a tensão solicitante é menor que a admissível (situação teoricamente segura).
Passo 5
Como desenhar o círculo de Mohr (passo a passo prático, faça no rascunho da prova):
- Eixos do gráfico: eixo horizontal representando tensão normal
e eixo vertical representando cisalhamento . - Plote o ponto
. - Plote o ponto
. Esses dois pontos são extremos do diâmetro do círculo de Mohr. - Centro do círculo:
com . - Raio:
. - Desenhe o círculo de raio
centrado em . - As interseções do círculo com o eixo
dão e (pontos ). O ponto mais alto do círculo (coord. ) corresponde à . - Para encontrar o ângulo físico
entre o eixo e o eixo principal, use a relação . No círculo de Mohr, o ângulo central correspondente entre o raio que vai a e o raio que vai a um ponto principal é .
Passo 6
Observações práticas e dicas de prova (amigável e motivador):
- Sempre verifique sinais. Um erro comum é tomar
com sinal errado; isso muda a orientação mas não os valores absolutos de . - Se a figura do enunciado der tensões distribuídas ou resultantes, transforme-as em componentes
antes de aplicar as fórmulas. - Se precisar de arredondamento, mantenha 2 ou 3 algarismos significativos e seja consistente.
- Se o enunciado perguntar por fator de segurança com respeito a combinação tensão normal + cisalhamento (critério de von Mises, Tresca, etc.), aí faz-se outro cálculo — aqui você pediu fator para cada tensão individual, então usamos as fórmulas acima.
Passo 7
Resumindo em “fórmulas prontas” para aplicar imediatamente quando tiver
:
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos porque a figura com o carregamento (ou seja, os valores de
) não foi enviada.
(a) .
(b) .
(c) .
(d) Círculo de Mohr: centro , raio
; pontos do diâmetro são
e
.
(a)
(b)
(c)
(d) Círculo de Mohr: centro