\left(1-2 x^{2}-2 y\right) \frac{d y}{d x}=4 x^{3}+4 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1-2x^{2}-2y\right)\frac{dy}{dx}=4x^{3}+4xy
e pede encontrar a solução geral y(x) (ou uma solução implícita que relacione x e y). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y em função de x.
  • A equação é de primeira ordem e pode ser escrita em forma diferencial.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Reescrevo a equação na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando ambos os lados por dx e reorganizando, obtenho
-(4x^{3}+4xy)\,dx + (1-2x^{2}-2y)\,dy = 0.
Portanto defino
M(x,y)=-(4x^{3}+4xy),\qquad N(x,y)=1-2x^{2}-2y.

Passo 3

Explico o conceito que vamos usar: uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é chamada de exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Se \Phi existe, a solução implícita geral é \Phi(x,y)=C, com C constante. Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x e comparamos: se iguais em uma região, a equação é exata ali.
Nota rápida sobre derivadas parciais: \partial M/\partial y significa derivar M(x,y) tratando x como constante e diferenciando em relação a y; similar para \partial N/\partial x.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-(4x^{3}+4xy)\bigr) = -4x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1-2x^{2}-2y\bigr) = -4x.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=-4x, a equação é exata. Excelente — isso significa que existe \Phi(x,y) com as propriedades acima.

Passo 5

Para encontrar \Phi(x,y) integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int -(4x^{3}+4xy)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
\int -4x^{3}\,dx = -x^{4},\qquad \int -4x y\,dx = -2x^{2}y,
então
\Phi(x,y) = -x^{4}-2x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 6

Agora imponho a outra condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calculo \partial \Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{4}-2x^{2}y + h(y)\bigr) = -2x^{2} + h'(y).
Isto deve ser igual a N(x,y)=1-2x^{2}-2y. Igualando:
-2x^{2} + h'(y) = 1-2x^{2}-2y.
Cancelando -2x^{2} dos dois lados, obtenho
h'(y)=1-2y.
Integro em relação a y:
h(y)=\int (1-2y)\,dy = y - y^{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante real.

Passo 7

Substituo h(y) em \Phi. Assim
\Phi(x,y) = -x^{4}-2x^{2}y + y - y^{2} + C_0.
A solução implícita geral da equação diferencial é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos absorver C_0 na constante geral C. Então a solução implícita pode ser escrita como
-x^{4}-2x^{2}y + y - y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária. Se preferir, multiplicando por -1 e renomeando a constante, outra forma equivalente é
x^{4}+2x^{2}y - y + y^{2} = C'.

Resposta

-x^{4}-2x^{2}y + y - y^{2} = C

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