Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
(ou uma solução implícita que relacione
e
). Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
em função de . - A equação é de primeira ordem e pode ser escrita em forma diferencial.
- Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Reescrevo a equação na forma diferencial padrão
. Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, obtenho
Portanto defino
Passo 3
Explico o conceito que vamos usar: uma equação da forma
é chamada de exata se existe uma função
tal que
Se
existe, a solução implícita geral é
, com
constante. Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais
e
e comparamos: se iguais em uma região, a equação é exata ali.
Nota rápida sobre derivadas parciais:
significa derivar
tratando
como constante e diferenciando em relação a
; similar para
.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
, a equação é exata. Excelente — isso significa que existe
com as propriedades acima.
Passo 5
Para encontrar
integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
então
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 6
Agora imponho a outra condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Isto deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados, obtenho
Integro em relação a
:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Substituo
em
. Assim
A solução implícita geral da equação diferencial é
. Podemos absorver
na constante geral
. Então a solução implícita pode ser escrita como
onde
é constante arbitrária. Se preferir, multiplicando por
e renomeando a constante, outra forma equivalente é