O elemento v=(7,8,9) in R^3 pode ser escrito como combinação linear de v1=(2,1,4), v2=(1,-1,3) e v3=(3,2,5).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec v=(7,8,9) como combinação linear dos vetores v1=(2,1,4), v2=(1,-1,3) e v3=(3,2,5).
Conteúdo: sistema linear em R^3. Vamos igualar coordenadas para determinar os coeficientes.

Passo 2

Suponha
vec v = a,v1 + b,v2 + c,v3
Igualando coordenadas, obtemos o sistema
2a + b + 3c = 7, a - b + 2c = 8, 4a + 3b + 5c = 9

Passo 3

Da primeira equação isolamos b:
b = 7 - 2a - 3c
Substituindo em a - b + 2c = 8
a - l(7 - 2a - 3cr) + 2c = 8 Longrightarrow 3a + 5c = 15

Passo 4

Ainda com b = 7 - 2a - 3c, substituímos na terceira equação 4a + 3b + 5c = 9:
4a + 3l(7 - 2a - 3cr) + 5c = 9 Longrightarrow a + 2c = 6

Passo 5

Resolvendo o sistema a partir de
3a + 5c = 15, a + 2c = 6,
subtraímos 3 vezes a segunda da primeira: obtemos c=3. Logo a = 6 - 2cdot 3 = 0. Por fim
b = 7 - 2cdot 0 - 3cdot 3 = -2

Passo 6

Portanto os coeficientes são
a=0, b=-2, c=3,
e assim
vec v = 0,v1 - 2,v2 + 3,v3

Resposta

vec v = 0,v1 ;-;2,v2 ;+;3,v3.

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