Um elemento radioativo X sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração k % da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano n é mn, então no ano seguinte ela é dada por:
mn+1=(1-k) mn
onde 0<k<1 representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida t12 em função da taxa de decaimento k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre decaimento radioativo, que é quando uma substância radioativa perde massa ao longo do tempo. A gente vai trabalhar com uma fórmula que mostra como a massa diminui a cada ano, e o objetivo é encontrar o tempo de meia-vida ( t12). A meia-vida é o tempo que leva para a massa da substância reduzir para a metade da inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que nos dá a massa da substância no ano seguinte:
mn+1 = (1 - k) cdot mn
Isso significa que a cada ano, sobra (1 - k) partes da massa anterior.

Passo 3

Como a cada ano a massa é multiplicada por (1 - k), após t anos, a massa será:
mt = m0 cdot (1 - k)^t
Aqui, m0 é a massa inicial e mt é a massa após t anos.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo de meia-vida t12, onde a massa mt12 é metade da massa inicial m0. Então, podemos escrever:
mt12 = m02 = m0 cdot (1 - k)^t12

Passo 5

Vamos dividir os dois lados da equação por m0 para simplificar:
12 = (1 - k)^t12

Passo 6

Agora, para resolver para t12, vamos usar o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
ln(12) = ln((1 - k)^t12)

Passo 7

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
ln(12) = t12 cdot ln(1 - k)

Passo 8

Finalmente, isolamos t12 dividindo ambos os lados por ln(1 - k):
t12 = ln(12)ln(1 - k)

Resposta

O tempo de meia-vida é dado por:
t12 = ln(12)ln(1 - k)

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