Um elemento radioativo
sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração
da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano
é
, então no ano seguinte ela é dada por:
onde
representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida
em função da taxa de decaimento
.
onde
O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre decaimento radioativo, que é quando uma substância radioativa perde massa ao longo do tempo. A gente vai trabalhar com uma fórmula que mostra como a massa diminui a cada ano, e o objetivo é encontrar o tempo de meia-vida (
). A meia-vida é o tempo que leva para a massa da substância reduzir para a metade da inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que nos dá a massa da substância no ano seguinte:
Isso significa que a cada ano, sobra
partes da massa anterior.
Passo 3
Como a cada ano a massa é multiplicada por
, após
anos, a massa será:
Aqui,
é a massa inicial e
é a massa após
anos.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo de meia-vida
, onde a massa
é metade da massa inicial
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos dividir os dois lados da equação por
para simplificar:
Passo 6
Agora, para resolver para
, vamos usar o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
Passo 7
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O tempo de meia-vida é dado por: