Um elemento radioativo X sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração k % da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano n é mn, então no ano seguinte ela é dada por:
mn+1=(1-k) mn
onde 0<k<1 representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
O carbono-14 ( C^14) é um isótopo radioativo utilizado em datações arqueológicas. Suponha que, após um ano, uma amostra de 10 microgramas de C^14 se reduz para 9,9988 microgramas. Estime o tempo de meia-vida desse elemento.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elemento radioativo, o carbono-14 ( C^14), que perde parte da sua massa a cada ano devido ao decaimento radioativo. A gente sabe que, depois de um ano, uma amostra de 10 microgramas desse carbono fica com 9,9988 microgramas. O que queremos descobrir é o tempo que leva para metade dessa massa desaparecer, ou seja, o tempo de meia-vida do C^14. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de decaimento radioativo e fazer umas contas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o decaimento radioativo. A cada ano, a massa restante do elemento é multiplicada por (1 - k), onde k é a taxa de decaimento anual (em decimal). Então, se começar com uma massa m0, após um ano teremos:
m1 = (1 - k) times m0
No nosso caso, sabemos que:
m0 = 10 microgramas
m1 = 9,9988 microgramas

Passo 3

Vamos usar esses valores para encontrar a taxa de decaimento k. Substituindo na fórmula:
9,9988 = (1 - k) times 10
Agora, vamos isolar k:
1 - k = 9,998810 = 0,99988
k = 1 - 0,99988 = 0,00012
Então, a taxa de decaimento anual é de 0,012%.

Passo 4

Agora que temos a taxa de decaimento, precisamos encontrar o tempo de meia-vida ( T), que é o tempo necessário para a massa reduzir para metade. A fórmula geral para o tempo de meia-vida em decaimento exponencial é:
T = ln 2ln ( 11 - k )
Onde ln é o logaritmo natural.

Passo 5

Vamos calcular isso usando k = 0,00012:
Primeiro, calculamos ln 2:
ln 2 approx 0,693147
Depois, calculamos ln ( 11 - 0,00012 ):
11 - 0,00012 = 10,99988 approx 1,00012001
ln 1,00012001 approx 0,00012001

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do tempo de meia-vida:
T = 0,6931470,00012001 approx 5777

Resposta

O tempo de meia-vida do C^14 é aproximadamente 5.777 anos.

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