Um elemento radioativo
sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração
da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano
é
, então no ano seguinte ela é dada por:
onde
representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
O carbono-14 (
) é um isótopo radioativo utilizado em datações arqueológicas. Suponha que, após um ano, uma amostra de 10 microgramas de
se reduz para 9,9988 microgramas. Estime o tempo de meia-vida desse elemento.
onde
O carbono-14 (
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elemento radioativo, o carbono-14 (
), que perde parte da sua massa a cada ano devido ao decaimento radioativo. A gente sabe que, depois de um ano, uma amostra de 10 microgramas desse carbono fica com 9,9988 microgramas. O que queremos descobrir é o tempo que leva para metade dessa massa desaparecer, ou seja, o tempo de meia-vida do
. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de decaimento radioativo e fazer umas contas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o decaimento radioativo. A cada ano, a massa restante do elemento é multiplicada por
, onde
é a taxa de decaimento anual (em decimal). Então, se começar com uma massa
, após um ano teremos:
No nosso caso, sabemos que:
Passo 3
Vamos usar esses valores para encontrar a taxa de decaimento
. Substituindo na fórmula:
Agora, vamos isolar
:
Então, a taxa de decaimento anual é de 0,012%.
Passo 4
Agora que temos a taxa de decaimento, precisamos encontrar o tempo de meia-vida (
), que é o tempo necessário para a massa reduzir para metade. A fórmula geral para o tempo de meia-vida em decaimento exponencial é:
Onde
é o logaritmo natural.
Passo 5
Vamos calcular isso usando
:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula do tempo de meia-vida:
Resposta
O tempo de meia-vida do
é aproximadamente 5.777 anos.