Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Se
, em que
e
, calcule
e faça o diagrama da árvore.
Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função
definida por
, onde
,
e
são funções de
,
,
e
. O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma dessas variáveis (
,
,
,
). Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 2
Vamos começar calculando
.
Primeiro, aplicamos a Regra da Cadeia:
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
E as derivadas das funções internas:
Substituindo tudo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Usamos novamente a Regra da Cadeia:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular
.
Aplicando a Regra da Cadeia:
Calculando as derivadas internas:
Substituindo:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
.
Mais uma vez, aplicamos a Regra da Cadeia:
Calculando as derivadas internas:
Substituindo na fórmula:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Diagrama da Árvore:
p
/ | \
u v w
/| | |\
x y r s
Esse diagrama mostra que
depende de
,
e
, e cada uma dessas depende das variáveis
,
,
e
.