Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Se p=u^2+3 v^2-4 w^2, em que u=x-3 y+2 r-s, v=2 x+y-r+2 s e w=-x+2 y+r+s, calcule partial ppartial x, partial ppartial y, partial ppartial r e partial ppartial s e faça o diagrama da árvore.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função p definida por p = u^2 + 3v^2 - 4w^2 , onde u , v e w são funções de x , y , r e s . O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais de p em relação a cada uma dessas variáveis ( x , y , r , s ). Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 2

Vamos começar calculando partial ppartial x .
Primeiro, aplicamos a Regra da Cadeia:
partial ppartial x = partial ppartial u cdot partial upartial x + partial ppartial v cdot partial vpartial x + partial ppartial w cdot partial wpartial x
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
partial ppartial u = 2u, partial ppartial v = 6v, partial ppartial w = -8w
E as derivadas das funções internas:
partial upartial x = 1, partial vpartial x = 2, partial wpartial x = -1
Substituindo tudo na fórmula:
partial ppartial x = 2u cdot 1 + 6v cdot 2 + (-8w) cdot (-1) = 2u + 12v + 8w

Passo 3

Agora, vamos calcular partial ppartial y .
Usamos novamente a Regra da Cadeia:
partial ppartial y = partial ppartial u cdot partial upartial y + partial ppartial v cdot partial vpartial y + partial ppartial w cdot partial wpartial y
Calculando as derivadas necessárias:
partial upartial y = -3, partial vpartial y = 1, partial wpartial y = 2
Substituindo na fórmula:
partial ppartial y = 2u cdot (-3) + 6v cdot 1 + (-8w) cdot 2 = -6u + 6v -16w

Passo 4

Vamos calcular partial ppartial r .
Aplicando a Regra da Cadeia:
partial ppartial r = partial ppartial u cdot partial upartial r + partial ppartial v cdot partial vpartial r + partial ppartial w cdot partial wpartial r
Calculando as derivadas internas:
partial upartial r = 2, partial vpartial r = -1, partial wpartial r = 1
Substituindo:
partial ppartial r = 2u cdot 2 + 6v cdot (-1) + (-8w) cdot 1 = 4u -6v -8w

Passo 5

Por fim, vamos calcular partial ppartial s .
Mais uma vez, aplicamos a Regra da Cadeia:
partial ppartial s = partial ppartial u cdot partial upartial s + partial ppartial v cdot partial vpartial s + partial ppartial w cdot partial wpartial s
Calculando as derivadas internas:
partial upartial s = -1, partial vpartial s = 2, partial wpartial s = 1
Substituindo na fórmula:
partial ppartial s = 2u cdot (-1) + 6v cdot 2 + (-8w) cdot 1 = -2u + 12v -8w

Resposta

As derivadas parciais de p são:
partial ppartial x = 2u + 12v + 8w
partial ppartial y = -6u + 6v -16w
partial ppartial r = 4u -6v -8w
partial ppartial s = -2u + 12v -8w
Diagrama da Árvore:
        p
      / | \
     u  v  w
    /|  |  |\
   x y  r s
Esse diagrama mostra que p depende de u , v e w , e cada uma dessas depende das variáveis x , y , r e s .

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