Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de equação 2 e^-x cos (y)-z=0 no ponto P(0, pi3, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação 2 e^-x cos(y) - z = 0 no ponto P(0, pi3, 1). Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente para achar essas equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do gráfico de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos pensar nela como uma função z = f(x, y), onde:
f(x, y) = 2 e^-x cos(y)
Isso significa que z depende de x e y através dessa função.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e a y no ponto dado. Vamos calcular fx e fy.
Primeiro, a derivada parcial de f em relação a x:
fx(x, y) = partialpartial x (2 e^-x cos(y)) = -2 e^-x cos(y)
Agora, a derivada parcial de f em relação a y:
fy(x, y) = partialpartial y (2 e^-x cos(y)) = -2 e^-x sin(y)

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto P(0, pi3):
Para fx:
fx(0, pi3) = -2 e^0 cos(pi3) = -2 times 1 times 12 = -1
Para fy:
fy(0, pi3) = -2 e^0 sin(pi3) = -2 times 1 times raiz32 = -raiz3

Passo 5

Agora, sabemos que a equação do plano tangente em um ponto (x0, y0, z0) é dada por:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Vamos substituir os valores que temos:
z - 1 = (-1)(x - 0) + (-raiz3)(y - pi3)
Simplificando:
z - 1 = -x - raiz3y + pi raiz33
Então, a equação do plano tangente é:
z = -x - raiz3y + pi raiz33 + 1

Passo 6

Para a reta normal, usamos o gradiente da função f, que é o vetor nabla f = (fx, fy, -1). No ponto P, temos:
nabla f = (-1, -raiz3, -1)
A equação paramétrica da reta normal que passa por P(0, pi3, 1) e tem direção nabla f é:
x = 0 + (-1) t y = pi3 + (-raiz3) t z = 1 + (-1) t
Ou seja:
x = -t y = pi3 - raiz3 t z = 1 - t

Resposta

O plano tangente é dado por:
z = -x - raiz3, y + pi raiz33 + 1
E a reta normal é:
x = -t y = pi3 - raiz3, t z = 1 - t , t in R

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