Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de equação
no ponto
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação
no ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente para achar essas equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do gráfico de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos pensar nela como uma função
, onde:
Isso significa que
depende de
e
através dessa função.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
no ponto dado. Vamos calcular
e
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, sabemos que a equação do plano tangente em um ponto
é dada por:
Vamos substituir os valores que temos:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para a reta normal, usamos o gradiente da função
, que é o vetor
. No ponto
, temos:
A equação paramétrica da reta normal que passa por
e tem direção
é:
Ou seja:
Resposta
O plano tangente é dado por:
E a reta normal é: