Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=1^infty 1(3 n-2)(3 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty1(3n-2)(3n+1)
e, caso ela convirja, determinar sua soma. O método indicado é usar frações parciais para escrever cada termo como diferença de duas frações simples, o que leva a um cancelamento telescópico na soma parcial.

Passo 2

Vamos decompor
em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando em ambos os lados por , obtemos
Comparando coeficientes de e termos constantes, vem
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:

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Passo 3

Escrevendo a soma parcial até N,
SN=sumn=1^N1(3n-2)(3n+1) =13sumn=1^Nl(13n-2-13n+1r)
Listemos os primeiros termos para ver o telescópio:
n=1:;11-14, n=2:;14-17, n=3:;17-110,;dots,; n=N:;13N-2-13N+1
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
SN=13l(11-13N+1r)

Passo 4

Para investigar a convergência, fazemos Ntoinfty. Como
13N+1to0, segue
limNtoinftySN =13l(1-0r) =13
Portanto a série converge e sua soma é tfrac13.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1(3n-2)(3n+1)=13

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