Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, caso ela convirja, determinar sua soma. O método indicado é usar frações parciais para escrever cada termo como diferença de duas frações simples, o que leva a um cancelamento telescópico na soma parcial.
Passo 2
Vamos decompor
em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando em ambos os lados por
, obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes, vem
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:
Logo
Logo
Passo 3
Escrevendo a soma parcial até
,
Listemos os primeiros termos para ver o telescópio:
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 4
Para investigar a convergência, fazemos
. Como
, segue
Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e