Os elementos da série de Fibonacci são definidos como
Com base nisso, faça que se pede:
(a) Pesquise mais (em livros ou na internet) a respeito da série de Fibonacci, do número aureo e de suas propriedades na natureza. Pesquise também se existe alguma fórmula para gerar os elementos desta sequência.
(b) Explique como esta sequência é formada.
© O quociente de um termo desta sequência pelo termo seguinte se aproxima de que valor, à medida que aumentamos os termos da sequência?
(a) Pesquise mais (em livros ou na internet) a respeito da série de Fibonacci, do número aureo e de suas propriedades na natureza. Pesquise também se existe alguma fórmula para gerar os elementos desta sequência.
(b) Explique como esta sequência é formada.
© O quociente de um termo desta sequência pelo termo seguinte se aproxima de que valor, à medida que aumentamos os termos da sequência?
Passo 1
A questão trata da sequência de Fibonacci e suas conexões com o número áureo. No item (a) pede uma pesquisa sobre a série, suas manifestações na natureza e se existe fórmula fechada; no item (b) pede explicação de como a sequência é gerada; no item © pergunta qual valor o quociente de um termo pelo termo seguinte tende à medida que avançamos na sequência.
Passo 2
No item (a) buscamos informações em livros ou na internet sobre: a origem histórica de Fibonacci (século XIII), o surgimento da série em problemas de contagem, as aparições do padrão 1,1,2,3,5,8… em conchas, girassóis, galáxias e proporções arquitetônicas, e a existência da fórmula de Binet, dada abaixo.
A fórmula de Binet expressa o n-ésimo termo em função de potências do número áureo φ e de seu conjugado ψ. Ela é
A fórmula de Binet expressa o n-ésimo termo em função de potências do número áureo φ e de seu conjugado ψ. Ela é
onde
Passo 3
Para o item (b), a sequência de Fibonacci é definida recursivamente. Os dois primeiros termos são 1 e 1, e a partir daí cada termo é a soma dos dois anteriores:
Passo 4
No item ©, estudamos o comportamento do quociente de termos consecutivos. Defina
Resposta
(a) A pesquisa revela que a série de Fibonacci aparece em problemas históricos de contagem, em diversas formas da natureza (conchas, flores, galáxias) e que existe a fórmula de Binet:
(b) A sequência é gerada pela recursão
© O quociente
converge a