Os elementos da série de Fibonacci são definidos como
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, ldots
Com base nisso, faça que se pede:
(a) Pesquise mais (em livros ou na internet) a respeito da série de Fibonacci, do número aureo e de suas propriedades na natureza. Pesquise também se existe alguma fórmula para gerar os elementos desta sequência.
(b) Explique como esta sequência é formada.
© O quociente de um termo desta sequência pelo termo seguinte se aproxima de que valor, à medida que aumentamos os termos da sequência?

Passo 1

A questão trata da sequência de Fibonacci e suas conexões com o número áureo. No item (a) pede uma pesquisa sobre a série, suas manifestações na natureza e se existe fórmula fechada; no item (b) pede explicação de como a sequência é gerada; no item © pergunta qual valor o quociente de um termo pelo termo seguinte tende à medida que avançamos na sequência.

Passo 2

No item (a) buscamos informações em livros ou na internet sobre: a origem histórica de Fibonacci (século XIII), o surgimento da série em problemas de contagem, as aparições do padrão 1,1,2,3,5,8… em conchas, girassóis, galáxias e proporções arquitetônicas, e a existência da fórmula de Binet, dada abaixo.
A fórmula de Binet expressa o n-ésimo termo em função de potências do número áureo φ e de seu conjugado ψ. Ela é
Fn = phi^n - psi^nphi - psi,
onde
phi = 1+raiz52, psi = 1-raiz52

Passo 3

Para o item (b), a sequência de Fibonacci é definida recursivamente. Os dois primeiros termos são 1 e 1, e a partir daí cada termo é a soma dos dois anteriores:
F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2(n>=3) Isso significa que você começa com 1,1 e gera o próximo termo somando 1+1=2, depois 1+2=3, 2+3=5, e assim por diante.

Passo 4

No item ©, estudamos o comportamento do quociente de termos consecutivos. Defina
rn = FnFn+1 Como n cresce, esse quociente converge a um valor r que satisfaz
r = 11+r, pois substituindo a recursão em termos de r obtemos
r = limntoinfty FnFn+1 = limntoinfty Fn-1+Fn-2Fn = 11+r Resolvendo a equação jornalística x=1/(1+x) temos x^2+x-1=0, cujas raízes são
x=-1pmraiz52 Como o quociente é positivo, escolhemos
r = raiz5-12 approx 0,6180339887

Resposta

(a) A pesquisa revela que a série de Fibonacci aparece em problemas históricos de contagem, em diversas formas da natureza (conchas, flores, galáxias) e que existe a fórmula de Binet: Fn=phi^n-psi^nphi-psi, phi=1+raiz52,;psi=1-raiz52
(b) A sequência é gerada pela recursão F1=1,;F2=1,;Fn=Fn-1+Fn-2,(n>=3)
© O quociente Fn/Fn+1 converge a (raiz5-1)/2approx0,6180339887

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