Calcule os três primeiros instantes no tempo ( t>0 ) para que as seguintes funções sejam zero, convertendo primeiro a uma única senoide:
\cos 5 t-\operatorname{sen} 5 t;

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros instantes t>0 tais que
\cos5t - \sen5t = 0.
O conteúdo aqui é transformação de soma de cosseno e seno numa única senoide, e depois achar os zeros dessa senoide.

Passo 2

Para juntar em uma única senoide, note que
\cos x - \operatorname{sen} x = \sqrt{2}\cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{4}\bigr),
pois
\sqrt{2}\cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{4}\bigr) =\sqrt{2}\Bigl(\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}-\operatorname{sen} x\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\cos x-\operatorname{sen} x.
Aqui usamos x=5t, logo
\cos5t - \sen5t = \sqrt{2}\cos\Bigl(5t + \tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 3

Agora impomos a igualdade a zero:
\sqrt{2}\cos\Bigl(5t + \tfrac{\pi}{4}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\Bigl(5t + \tfrac{\pi}{4}\Bigr)=0.
Sabemos que \cos\theta=0 quando \theta = \tfrac{\pi}{2} + k\pi, k\in\mathbb{Z}. Portanto
5t + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad 5t = \tfrac{\pi}{4} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\tfrac{\pi}{4} + k\pi}{5}.

Passo 4

Para t>0 e tomando k=0,1,2, obtemos os três primeiros instantes:
t_1 = \frac{\tfrac{\pi}{4}}{5} = \frac{\pi}{20},\quad t_2 = \frac{\tfrac{\pi}{4} + \pi}{5} = \frac{\pi}{4},\quad t_3 = \frac{\tfrac{\pi}{4} + 2\pi}{5} = \frac{9\pi}{20}.

Resposta

\displaystyle t_1=\frac{\pi}{20},\quad t_2=\frac{\pi}{4},\quad t_3=\frac{9\pi}{20}.

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